定义 1.5 把矩阵$A=(a_{ij})_{m×n}$的行依次换成同序数的列得到的n×m矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作$A^T$。

例如，矩阵 $ A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{pmatrix} $ 的转置矩阵 $ A^T=\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \\ \end{pmatrix} $

性质 1.4 矩阵的转置运算满足下列运算规律（假设其中的运算都是可行的）：

（1）$(A^T)^T=A$
（2）$(A+B)^T=A^T+B^T$
（3）$(kA)^T=kA^T,\text{其中k为任意数}$
（4）$(AB)^T=B^TA^T$

证明 下面只验证(4)，其余的留给读者自己验证。

设$A=(a_{ik})_{m×s},B=(b_{kj})_{s×n}$，则AB是m×n矩阵，$B^TA^T$是n×m矩阵，记 $$ AB=C=(c_{ij})_{m×n},\quad B^TA^T=D=(d_{ij})_{n×m} $$ 于是有$C^T=c_{ji}=\begin{flalign}\sum_{k=1}^{s}a_{jk}b_{ki}\end{flalign}$

又因为矩阵$B^T$的第i行为$(b_{1i},\cdots,b_{si})$，$A^T$的第j列为 $ \begin{pmatrix} a_{j1} \\ \vdots \\ a_{js} \\ \end{pmatrix} $ ，因此 $$ D=d_{ij}=\displaystyle\sum_{k=1}^{s}b_{ki}a_{jk} $$ $$ C^T=c_{ji}=\displaystyle\sum_{k=1}^{s}a_{jk}b_{ki}=\displaystyle\sum_{k=1}^{s}b_{ki}a_{jk}=d_{ij}=D $$

由此可见$C^T=D$，即$(AB)^T=B^TA^T$。

对于多个矩阵的乘积的转置，用数学归纳法容易证明 $$ (A_1A_2\cdots A_k)^T=A_k^T \cdots A_2^TA_1^T $$

  若$A^T=A$，则称A为对称矩阵；若$A^T=-A$，则称A为反对称矩阵。对称矩阵与反对称矩阵是两种重要的特殊方阵。易知，对称矩阵关于主对角线对称，反对称矩阵的主对角线上的元素全部为零。例如， $ A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \\ \end{pmatrix} $ 为对称矩阵， $ B=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ -2 & -1 & 0 \\ \end{pmatrix} $ 为反对称矩阵。

例 1.6 证明任意一个n阶矩阵都可以表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和。

证明 任意一个n阶矩阵A都可以写成 $$ A=\frac{1}{2}(A+A^T) + \frac{1}{2}(A-A^T) $$ 由于 $$ \begin{aligned} \left[ \frac{1}{2}(A+A^T) \right]^T &= \frac{1}{2}\left[ A^T + (A^T)^T \right] = \frac{1}{2}(A+A^T) &\\ \left[ \frac{1}{2}(A-A^T) \right]^T &= \frac{1}{2}\left[ A^T - (A^T)^T \right] = -\frac{1}{2}(A-A^T) &\\ \end{aligned} $$

可见$\frac{1}{2}(A+A^T)$为对称矩阵，$\frac{1}{2}(A-A^T)$为反对称矩阵。这就证明了A可以表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和。