引例：曲边梯形

由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b以及x轴所围成的图形AabB称为曲边梯形。

定积分可用来求曲边梯形的面积，而在不同的场景下曲边梯形的面积又有不同的含义。例如：

1、将f(x)看作变速曲线，那么曲边梯形的面积就等于变速直线运动的路程。
2、将f(x)看作变力曲线，那么曲边梯形的面积就等于变力沿直线所做的功。

注1 从定积分的定义可以看出，是否存在以及存在时等于的极限值，与对区间[a, b]的分法以及在小区间[x_i-1, x_i]上ζ_i的取法均是无关的；

注2 定积分的概念与导数、微分概念不同，定积分所涉及的是函数f(x)在整个区间[a, b]上的一个整体性质，即定积分的值与函数f(x)在[a, b]中的每个“局部”都有关；

注3 定积分的数值与积分变量记号无关，只与函数f(x)本身及区间[a, b]有关，与积分变量用什么符号表示无关，即

根据定积分的定义，从引入定积分的三个例子可以看到：

由曲线y=f(x) （f(x)≥0）及直线 x=a, x=b 和 x 轴所围成的曲边梯形的面积为

作变速直线运动的质点，速度为v(t)，从 t=T₁ 到 t=T₂ 一段时间经过的路程为

变力F(x)在某一直线距离[a, b]所做的功为

从这个例子可以看到，直接用定义计算定积分是麻烦的，以后我们将有较为简单的方法。另一方面，定积分是一种特殊和式的极限，反过来也可以将某些特殊和式极限表示为定积分。

四、定积分的性质

为了进一步讨论定积分的理论与计算，先介绍定积分的基本性质。在性质中总是假设定积分都是存在的，不再一一申明。另外，对定积分我们还要作以下两条补充规定：

由(2)可知，交换定积分的上下限时，定积分的绝对值不变而符号相反。

性质 1 两个函数的和（差）的定积分等于它们的定积分的和（差），即

性质 2  被积函数的常数因子可以提到积分号外，即

性质 3  如果在区间[a, b]上f(x)≡1，则

性质 4 （区间可加性）若把积分区间[a, b]分成两部分[a, c]与[c, b]，则有

证 因为函数f(x)在区间[a, b]上可积，所以不论把区间[a, b]怎样分，积分和式的极限总是不变的。因此，我们在分区间时，永远把c取作一个分点，那么，[a, b]上的和式等于[a, c]上的和式加上[c, b]上的和式，记为

当λ→0时，上式两端同时取极限，再由定积分的定义，即得

顺便说明一下，当点c在区间[a, b]之外时，即c<a<b或a<b<c时，上式仍然成立，例如，当a<b<c时，由于

性质 5 如果在区间[a, b]上，f(x)≥0，则

推论 1 如果在区间[a, b]上，f(x)≤g(x)，则

性质 6 （估值定理）设M及m分别是函数f(x)在区间[a, b]上的最大值和最小值，则