立体角

作者：追风剑情发布于：2022-6-19 13:30 分类：Shader

立体角

给定一个正球体，它的半径为R。然后给定一个正圆锥体，正圆锥体的顶点和球心重合。圆锥体顶点到圆锥底面圆边上任意一点的连线，即正圆锥体斜高，它的值也为R。由正圆锥体的底面圆S所截取的那一部分球的面积A和球体半径R的平方的比称为立体角(solid angle)，其国际单位是球面度(steradian)。

若以Ω表示立体角，则立体角的微分形式定义如下式所示。 $d Ω = \frac{d A}{R^{2}}$ 式中，dA为圆锥体底面截取的球面A的微元。

若在球面坐标系下对立体角进行定义，如上面右图所示，面积微元dA的高为 $R d θ$ ，宽为 $R s i n θ d φ$ ，那么面积微元dA的公式可以写为 $d A = R d θ R s i n θ d φ$ 那么由上式，整个球面的立体角可写为关于 $φ$ 和θ的二重积分形式： $Ω = \int \frac{d A}{R^{2}} = \int \int d θ d φ s i n φ = \int_{0}^{2 π} d φ \int_{0}^{π} s i n θ d θ = 4 π$