高等数学——泰勒公式

作者：追风剑情 发布于：2022-6-17 9:46 分类：Algorithms

  两个函数在给定点x0处的值相等，表示这两个函数在x0处相交。若这两个函数在x0处的一阶导数也相等，表示这两个函数在x0处相切。若这两个函数在x0处的二阶导数也相等，表示这两个函数在x0处的弯曲方向相同。由此可知，更高阶的导数在x0处相等，表示从x0处开始这两个函数的拟合度越高。

泰勒公式的几何意义

使用多项式函数在给定函数的某点展开，逼近给定函数。可用泰勒公式求给定函数某点附近的近似值。

泰勒公式的定义

如果函数f(x)在含x0的某个区间(a, b)内具有直到(n+1)阶导数，则对∀∈(a,b)，有

f(x)=f(x0)0!+f′(x0)1!(x−x0)+f″(x0)2!(x−x0)2+⋯+fn(x0)n!(x−x0)n+Rn(x) 其中余项(误差) Rn(x)=fn+1(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1 ξ在x0与x之间。泰勒公式的余项表达方式有好几种，前面这种表示方法称为n阶泰勒展开式的拉格朗日余项。因为使用多项式函数在某点展开，逼近给定函数，最后肯定会有一丢丢的误差。

泰勒展开式

将近似公式的一般化公式称为泰勒展开式。例如，在两个变量的情况下，这个公式如下所示。

f(x+Δx,y+Δy)=f(x,y)+∂f∂xΔx+∂f∂yΔy+12!{∂2f∂x2(Δx)2+2∂2f∂x∂yΔxΔy+∂2f∂y2(Δy)2}+13!{∂3f∂x3(Δx)3+3∂3f∂x2∂y(Δx)2(Δy)+3∂3f∂x∂y2Δx(Δy)2+∂3f∂y3(Δy)3}+⋯ 在泰勒展开式中，取出前三项，就得到近似公式 f(x+Δx,y+Δy)≒f(x,y)+∂f∂xΔx+∂f∂yΔy 此外，我们约定 ∂2f∂x2=∂∂x∂f∂x,∂2f∂x∂y=∂∂x∂f∂y,⋯

1、sin(x)的泰勒展开式

∵sin′⁡x=cos⁡x,cos′⁡x=−sin⁡x∴sin′⁡x=cos⁡xsin″⁡x=−sin⁡xsin‴⁡x=−cos⁡xsin⁗⁡x=sin⁡x当x=0时，有sin′⁡0=cos⁡0=1sin″⁡0=−sin⁡0=0sin‴⁡0=−cos⁡0=−1sin⁗⁡0=sin⁡0=0将f(x)=sinx，f(x0)=sin0代入泰勒公式，得sin⁡x=sin⁡00!+sin′⁡01!(x−0)+sin″⁡02!(x−0)2+sin‴⁡03!(x−0)3+⋯=0+x+0−13!x3+0+15!x5+0−17!x7+,⋯从上面可以看出，分母为偶数的项全部为0，分母为奇数的项前面的符号呈现出正负交替的规律。

2、cos(x)的泰勒展开式

∵sin′⁡x=cos⁡x,(−sin⁡x)′=−cos⁡x,(−cos⁡x)′=sin⁡x∴cos′⁡x=−sin⁡xcos″⁡x=−cos⁡xcos‴⁡x=sin⁡xcos⁗⁡x=cos⁡x当x=0时，有cos′⁡0=−sin⁡0=0cos″⁡0=−cos⁡0=−1cos‴⁡0=sin⁡0=0cos⁗⁡0=cos⁡0=1将f(x)=cosx，f(x0)=cos0代入泰勒公式，得cos⁡x=cos⁡00!+cos′⁡01!(x−0)+cos″⁡02!(x−0)2+cos‴⁡03!(x−0)3+⋯=1+0−12!x2+0+14!x4+0−16!x6+0+18!x8+,⋯从上面可以看出，分母为奇数的项全部为0，分母为偶数的项前面的符号呈现出正负交替的规律。

标签: Algorithms

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