正交矩阵

作者：追风剑情发布于：2018-9-5 20:43 分类：计算机图形学

一、运算法则

若方阵M是正交的，则当且仅当M与它转置M^T的乘积等于单位矩阵。

因为矩阵乘以它的逆等于单位矩阵：MM^T=I。所以，如果一个矩阵是正交的，那么它的转置等于它的逆。

这是一条非常有用的性质，因为在实际应用中经常需要计算矩阵的逆，而3D图形计算中正交矩阵出现得又是如此频繁（旋转和镜像矩阵都是正交的）。如果知道矩阵是正交的，就可以完全避免计算逆矩阵了，这也将大大减少计算量。

二、几何解释

以3×3矩阵为例，检测它的正交性：

设M是3×3矩阵，根据定义，当且仅当MM^T=I时M是正交的。它的确切含义如下：

这给出了9个等式，如果M是正交的，它们必须全部成立:

设r₁，r₂，r₃为M的行：

将这9个等式写得更加紧凑，有：

现在做一些解释：

第一，当且仅当一个向量是单位向量时，它与它自身的点积结果是1。因此，仅当r₁，r₂，r₃是单位向量时，第1、4、9式才能成立。

第二，当且仅当两个向量互相垂直时，它们的点积为零。因此，仅当r₁，r₂，r₃互相垂直时其他等式才成立。

所以，若一个矩阵是正交的，它必须满足下列条件：
1.矩阵的每一行都是单位向量。
2.矩阵的所有行互相垂直。

对矩阵的列也能得到类似的条件。这使得以下结论非常清楚：如果M是正交的，则M^T也是正交的。

计算逆矩阵时，仅在预先知道矩阵是正交的情况下才能利用正交性的优点。如果预先不知道，那么检查正交性经常是浪费时间。即使在最好的情况下，先检查正交性以确定矩阵是否正交再进行转置，和一开始进行求逆运算也将耗费同样多的时间。而如果矩阵不是正交的，那么这种检查完全是浪费时间。

注意，有一个术语上的差别可能会导致轻微的混淆。线性代数中，如果一组向量互相垂直，这组向量就被认为是正交基(orthogonal basis)。它只要求所有向量互相垂直，并不要求所有向量都是单位向量。如果它们都是单位向量，则称它们为标准正交基(orthonormal basis)。

三、矩阵正交化

有时可能会遇到略微违反了正交性的矩阵。例如，可能从外部得到了坏数据，或者是浮点数运算的累积错误(称作“矩阵爬行”)。这些情况下，需要做矩阵正交化，得到一个正交矩阵，这个矩阵要尽可能地和原矩阵相同(至少希望是这样)。

构造一组正交基向量(矩阵的行)的标准算法是施密特正交化。它的基本思想是，对每一行，从中减去它平行于已处理过的行的部分，最后得到垂直向量。

以3×3矩阵为例，和以前一样，用r₁，r₂，r₃代表3×3矩阵M的行。正交向量组r₁'，r₂'，r₃'的计算如公式：

3D基向量的施密特正交化

现在r₁'，r₂'，r₃'互相垂直了，它们是一组正交基。当然，它们不一定是单位向量。构造正交矩阵需要使用标准正交基，所以必须标准化这些向量。注意，如果一开始就进行标准化，而不是在第2步中做，就能避免所有除法了。

施密特正交化是有偏差的，这取决于基向量列出的顺序。一个明显的例子是，r₁总不用改变。该算法的一个改进是不在一次正交化过程中将整个矩阵完全正交化。而是选择一个小的因子k，每次只减去投影的k倍，而不是一将将投影全部减去。改进还体现在，在最初的轴上也减去投影。这种方法避免了因为运算顺序不同带来的误差。算法总结如下：