矩阵的逆

作者：追风剑情发布于：2018-8-19 12:55 分类：计算机图形学

求逆运算只能用于方阵。

并非所有矩阵都有逆，一个明显的例子是若矩阵的某一行或列上的元素都为零，用任何矩阵乘以该矩阵，结果都是一个零矩阵。如果一个矩阵有逆矩阵，那么称它为可逆的或非奇异的。如果一个矩阵没有逆矩阵，则称它为不可逆的可奇异矩阵。奇异矩阵的行列式为零，非奇矩阵的行列式不为零，所以检测行列式的值是判断矩阵是否可逆的有效方法。此外，对于任意可逆矩阵M，当且仅当v=0时，vM=0

M的"标准伴随矩阵"记作“adj M”，定义为M的代数余子式矩阵的转置矩阵。下面是一个例子：

计算M的代数余子式矩阵：

M的标准伴随矩阵是代数余子式矩阵的转置：

一旦有了标准伴随矩阵，通过除以M的行列式，就能计算矩阵的逆。

例如，为了求得上面矩阵的逆，有：

当然还有其他方法可以用来计算矩阵的逆，比如高斯消元法(适合大矩阵或某些特殊矩阵)。对于低阶矩阵求逆，标准伴随矩阵更快一些。

矩阵的逆的重要性质：

如果M是非奇异矩阵，则该矩阵的逆的逆等于原矩阵：(M^-1)^-1=M
单位矩阵的逆是它本身：I^-1=I
矩阵转置的逆等于它的逆的转置：(M^T)^-1=(M^-1)^T
矩阵乘积的逆等于矩阵的逆的相反顺序的乘积：(AB)^-1=B^-1A^-1。这可扩展到多个矩阵的情况:(M₁M₂...M_n-1M_n)^-1=M_n^-1M_n-1^-1...M₂^-1M₁^-1