向量旋转——基变换

作者：追风剑情发布于：2017-3-12 11:11 分类：Algorithms

设x方向的基向量为i=(1,0)，y方向的基向量为j=(0,1)。将这两个基向量组合，就可以将任意坐标(x,y)表示为xi+yi的形式。这样一来，即使不更改x、y，而只是将i、j旋转指向特定的方向，也可以实现物体的旋转。将基向量i、j旋转后得到一对新的基向量i'与j'。然后进行向新坐标系的坐标变换，坐标为(x,y)的点P，即P=xi+yj这个点，就移动到了点P'=xi'+yj'。可将其用分量表示为

用矩阵可表示为

也就是说，只要将新的基向量i'、j‘的分量表示为矩阵形式，就可以得到从一般坐标系到新坐标系的变换矩阵。这是一个非常方便的数学结论，最好可以背下来(普通的旋转矩阵就是通过这种方式得到的矩阵的一个特例)。

示例：将正交基旋转θ角

$$ \begin{flalign} &\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos{θ} & \sin{θ} \\ \cos{(\frac{\pi}{2}+θ)} & \sin{(\frac{\pi}{2}+θ)} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix} &\\ \end{flalign} $$

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