三角形

作者：追风剑情发布于：2017-3-3 23:17 分类：Algorithms

设e_i为边向量，l_i为e_i的长度。注意e_i、l_i和v_i的对应关系，v_i为相应下标的顶点，它们的关系如下： $\begin{aligned} e_{1} = v_{3} - v_{2} l_{1} = | e_{1} | \\ e_{2} = v_{1} - v_{3} l_{2} = | e_{2} | \\ e_{3} = v_{2} - v_{1} l_{3} = | e_{3} | \end{aligned}$

正弦公式 $\begin{aligned} \frac{s i n θ_{1}}{l_{1}} = \frac{s i n θ_{2}}{l_{2}} = \frac{s i n θ_{3}}{l_{3}} \end{aligned}$

余弦公式 $\begin{aligned} l_{1}^{2} = l_{2}^{2} + l_{3}^{2} - 2 l_{2} l_{3} c o s θ_{1} \\ l_{2}^{2} = l_{1}^{2} + l_{3}^{2} - 2 l_{1} l_{3} c o s θ_{2} \\ l_{3}^{2} = l_{1}^{2} + l_{2}^{2} - 2 l_{1} l_{2} c o s θ_{3} \end{aligned}$

周长公式 $\begin{aligned} p = l_{1} + l_{2} + l_{3} \end{aligned}$

面积公式一：已知底、高

A=(d*h)/2 (d:底，h:高)

面积公式二：(海伦公式) 已知三边长度

$\begin{aligned} s = (l_{1} + l_{2} + l_{3}) / 2 (s : 半周长) \\ A = \sqrt{s (s - l_{1}) (s - l_{2}) (s - l_{3})} \end{aligned}$

面积公式三：在2D中，已知三角形各顶点的笛卡尔坐标。

基本思想是：求出三角形各边与x轴围成的梯形的有符号面积再相加。事实上，能用同样的思想计算任意多边形的面积。

$\begin{aligned} A & = A (e_{1}) + A (e_{2}) + A (e_{3}) \\ = \frac{y_{1} (x_{2} - x_{3}) + y_{2} (x_{3} - x_{1}) + y_{3} (x_{1} - x_{2})}{2} \end{aligned}$ 进一步简化，基本思想是：平移三角形不会改变三角形的面积。因此，我们可以竖直方向上平移三角形，从每个y坐标中减去y₃。