相似矩阵

作者：追风剑情发布于：2025-3-20 13:22 分类：Algorithms

设数列 ${x_{n}} ， {y_{n}}$ 满足 ${\begin{aligned} x_{n} & = 3 x_{n - 1} - y_{n - 1} \\ y_{n} & = - x_{n - 1} + 3 y_{n - 1} \end{aligned}$ 其中 $x_{0} = y_{0} = 1$ 。我们来求 $x_{n} ， y_{n}$ 。将上述公式转化成矩阵形式 $(\begin{matrix} x_{n} \\ y_{n} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} x_{n - 1} \\ y_{n - 1} \end{matrix})$ 其中 $A = (\begin{matrix} 3 & - 1 \\ - 1 & 3 \end{matrix})$ 。利用此递推公式得 $(\begin{matrix} x_{n} \\ y_{n} \end{matrix}) = A^{n} (\begin{matrix} x_{0} \\ y_{0} \end{matrix}) = A^{n} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$ 因此，求 $A^{n}$ 就是解决问题的关键。如果存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{- 1} A P = D$ 。并且 $D^{n}$ 容易计算，那么 $A^{n} = (P D P^{- 1})^{n} = (P D P^{- 1}) \dots (P D P^{- 1}) = P D^{n} P^{- 1}$ 于是 $A^{n}$ 就容易计算了。为此我们引出下述概念。

定义 4.1 设 $A ， B$ 为 n 阶矩阵，如果存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{- 1} A P = B$ ，则称 $A$ 与 $B$ 是相似的，记作 $A \sim B$ 。

从几何角度理解，可以将 P 看作是旋转矩阵，A 经旋转矩阵 P 变换后得到 B。

例 4.1 设矩阵 $A = (\begin{matrix} λ_{1} & a \\ 0 & λ_{2} \end{matrix})$ ， $B = (\begin{matrix} λ_{2} & 0 \\ a & λ_{1} \end{matrix})$ 证明 A 与 B 相似。特别的， $(\begin{matrix} λ & 1 \\ 0 & λ \end{matrix})$ 与 $(\begin{matrix} λ & 0 \\ 1 & λ \end{matrix})$ 相似。

证明比较 A，B 可知，A 可以经过初等变换化成 B。 $A = (\begin{matrix} λ_{1} & a \\ 0 & λ_{2} \end{matrix}) \overset{r_{1} \leftrightarrow r_{2}}{\to} (\begin{matrix} 0 & λ_{2} \\ λ_{1} & a \end{matrix}) \overset{c_{1} \leftrightarrow c_{2}}{\to} (\begin{matrix} λ_{2} & 0 \\ a & λ_{1} \end{matrix}) = B$ 记 $P = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})$ ， $P = P^{- 1}$ ，那么 $B = P A P = P^{- 1} A P$ 。故 A 与 B 相似。