仿射变换和齐次坐标

作者：追风剑情发布于：2024-10-24 21:37 分类：Unity3d

在 Unity 3D 中除观察空间(摄像机空间)使用右手坐标系外，其他空间均使用左手坐标系。

齐次向量[x,y,z,w]在w≠0时对应的笛卡儿坐标$\left( \frac{x}{w}, \frac{y}{w}, \frac{z}{w} \right)$，且该齐次向量表示一个位置点。

1、缩放

$$ \left[ \begin{array}{l} scale_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & scale_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & scale_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} x \\ y \\ z \\ w \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} scale_xx \\ scale_yy \\ scale_zz \\ w \end{array} \right] $$

在 Unity 3D Shader 中可以用宏 UNITY_ASSUME_UNIFORM_SCALING 来判断是否为均匀缩放。在非均匀缩放时需要对顶点的法线做额外的操作，使得它能正确的变换。

如果三角形网格的变换矩阵为M，在非均匀缩放时，把顶点的法线从模型空间变换到世界空间，需要乘以逆转置矩阵，即$(M^{-1})^T$

2、平移

$$ \left[ \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} x \\ y \\ z \\ w \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} x+t_xw \\ y+t_yw \\ z+t_zw \\ w \end{array} \right] $$

如果w=0，则表示方向。如果对一个方向向量进行平移，实际上是不会产生任何作用的。

3、旋转

(1) 绕X轴旋转

$$ \left[ \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ 0 & \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} x \\ y \\ z \\ w \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} x \\ y\cos\theta - z\sin\theta \\ y\sin\theta + z\cos\theta \\ w \end{array} \right] $$

(2) 绕Y轴旋转

$$ \left[ \begin{array}{l} \cos\theta & 0 & \sin\theta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin\theta & 0 & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} x \\ y \\ z \\ w \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} x\cos\theta + z\sin\theta \\ y \\ -x\sin\theta + z\cos\theta \\ w \end{array} \right] $$

(3) 绕Z轴旋转

$$ \left[ \begin{array}{l} \cos\theta & -\sin\theta & 0 & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} x \\ y \\ z \\ w \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} x\cos\theta - y\sin\theta \\ x\sin\theta + y\cos\theta \\ z \\ w \end{array} \right] $$

如果把顶点的三维坐标齐次化成四维齐次坐标，那么针对此顶点所有的平移、旋转、绽放变换（仿射变换）可以通过矩阵连乘的方式变换。由于 Unity 3D 的顶点坐标是采用列向量的方式描述，因此对应的矩阵连乘方式是右乘，即坐标列向量写在公式的最右边，各变换矩阵按变换的先后顺序依次从右往左写。

4、观察矩阵

Unity 3D 中定义的观察空间采用的是右手坐标系。

通常摄像机需要通过3个参数定义，即 Eye、LookAt 和 Up。Eye 指摄像机在世界空间中位置的坐标；LookAt 指世界坐标中摄像机所观察位置的坐标；Up 则指在世界空间中，近似于（注意，并不是等于）摄像机朝上的方向向量，通常定义为世界坐标系的 y 轴。给定 Eye、LookAt 和 Up 后，即可定义观察空间。观察空间的原点位于 Eye 处，由 3 个向量 {u, v, n}（对应于 x、y、z 坐标轴）构成。在观察空间中，摄像机位于原点处且指向 -n，即摄像机的观察方向（也称朝前方向，forward）为 -n。

通过平移和旋转将观察坐标系变换到与世界坐标系重合，此时模型的世界坐标就等于它在观察空间中的坐标。

（1）平移矩阵

$$ M_t= \left[ \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 & -Eye_x \\ 0 & 1 & 0 & -Eye_y \\ 0 & 0 & 1 & -Eye_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] $$

（2）旋转矩阵

完成平移后，需要在保持观察坐标系的3条坐标轴 u、v、n 始终相互垂直的前提下，旋转它们并使其朝向和世界坐标系的3条坐标轴 x、y、z 完全重合。世界坐标系的3条坐标轴的方向向量分别为 $[1,0,0,0]^T、 [0,1,0,0]^T、 [0,0,1,0]^T$。也就是说，要构造一个矩阵，使得坐标轴 u、v、n 的方向向量值右乘矩阵$M_r$时，分别等于x、y、z的方向向量值。矩阵$M_r$为：参见向量旋转——基变换

$$ M_r= \left[ \begin{array}{l} u_x & u_y & u_z & 0 \\ v_x & v_y & v_z & 0 \\ n_x & n_y & n_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \tag{1-16} $$

式（1-16）各列中的分量即为 u、v、n 轴的方向向量值。代入u轴的方向向量值$[u_x, u_y, u_z, 0]^T$，计算可得 $$ M_ru= \left[ \begin{array}{l} u_x & u_y & u_z & 0 \\ v_x & v_y & v_z & 0 \\ n_x & n_y & n_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} u_x \\ u_y \\ u_z \\ 0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} u_xu_x + u_yu_y + u_zu_z \\ v_xu_x + v_yu_y + v_zu_z \\ n_xu_x + n_yu_y + n_zu_z \\ 0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] \tag{1-17} $$

式（1-17）中的结果向量 $[u_xu_x + u_yu_y + u_zu_z, v_xu_x + v_yu_y + v_zu_z, n_xu_x + n_yu_y + n_zu_z]^T$ 的3个分量值实质上就是向量u分别与向量u、n、v的点积值，因为u、n、v三向量相互垂直且为单位向量。向量点积公式为 $$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|cosθ $$ 式中，θ为a和b的夹角。

同理可得，$M_rv$和$M_rn$的值分别为$[0,1,0,0]^T$和$[0,0,1,0]^T$。因此，到了这一步，变换矩阵$M_{tempView}$为：

$$ M_{tempView}=M_rM_t= \left[ \begin{array}{l} u_x & u_y & u_z & 0 \\ v_x & v_y & v_z & 0 \\ n_x & n_y & n_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 & -Eye_x \\ 0 & 1 & 0 & -Eye_y \\ 0 & 0 & 1 & -Eye_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} u_x & u_y & u_z & -Eye \cdot \mathbf{u} \\ v_x & v_y & v_z & -Eye \cdot \mathbf{v} \\ n_x & n_y & n_z & -Eye \cdot \mathbf{n} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] $$

注意，到这一步变换还没结束，因为采用的世界坐标系和观察坐标系都是按照 Unity 3D 的实现，分别是左手坐标系和右手坐标系，并且这两种坐标系的x轴和y轴是重合的，z轴则相反。因此，还必须让$M_{tempView}$右乘一个矩阵$M_z$并对z轴取反，才能得到最终变换矩阵$M_{view}$。

$$ M_{view}=M_zM_{tempView}= \left[ \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} u_x & u_y & u_z & -Eye \cdot \mathbf{u} \\ v_x & v_y & v_z & -Eye \cdot \mathbf{v} \\ n_x & n_y & n_z & -Eye \cdot \mathbf{n} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} u_x & u_y & u_z & -Eye \cdot \mathbf{u} \\ v_x & v_y & v_z & -Eye \cdot \mathbf{v} \\ -n_x & -n_y & -n_z & Eye \cdot \mathbf{n} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] $$

顶点在世界坐标系下的位置坐标值右乘$M_{view}$，便可以变换到观察空间中。

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