方阵的行列式

作者：追风剑情发布于：2024-8-17 0:01 分类：Algorithms

众所周知，一个数a的倒数a^-1存在当且仅当a≠0。然而由上节的讨论知，即使是非零的方阵也不一定可逆。那么我们能否找到一个刻画方阵特征的数，用这个数来判别方阵在何时可逆？回答是肯定的。

本节将采用归纳法来定义n阶行列式，证明它的性质，然后介绍它的计算方法及其应用。我们将会看到上述要找的这个数就是行列式的值：一个方阵可逆当且仅当它的行列式不为零。

例 1.16 设 $ A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{pmatrix} $ ，证明A为可逆矩阵的充分必要条件是 $$ d=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \neq 0 $$ 且此时， $ A^{-1}=\frac{1}{d} \begin{pmatrix} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \\ \end{pmatrix} $

证明（充分性）若$d \neq 0$，记 $ B=\frac{1}{d} \begin{pmatrix} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \\ \end{pmatrix} $ ，经过验算可知 $$ AB=BA=E $$ 所以A为可逆矩阵且 $ A^{-1}=\frac{1}{d} \begin{pmatrix} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \\ \end{pmatrix} $

证明（必要性）若A为可逆矩阵，则存在 $ B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ \end{pmatrix} $ 使得AB=E，即 $$ \begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} $$ 据此式可验证 $$ \begin{flalign} &(a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21})(a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}) = 1 &\\ &(a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22})(a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}) = 0 &\\ \end{flalign} $$ $$ \begin{flalign} &(a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21})(a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}) - (a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22})(a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}) &\\ =&(a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21})(b_{11}b_{22}-b_{12}b_{21}) &\\ =&1 &\\ \end{flalign} $$ 所以，$d=a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \neq 0$

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