方阵的行列式

作者：追风剑情发布于：2024-8-17 0:01 分类：Algorithms

众所周知，一个数a的倒数a^-1存在当且仅当a≠0。然而由上节的讨论知，即使是非零的方阵也不一定可逆。那么我们能否找到一个刻画方阵特征的数，用这个数来判别方阵在何时可逆？回答是肯定的。

本节将采用归纳法来定义n阶行列式，证明它的性质，然后介绍它的计算方法及其应用。我们将会看到上述要找的这个数就是行列式的值：一个方阵可逆当且仅当它的行列式不为零。

例 1.16 设 $A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix})$ ，证明A为可逆矩阵的充分必要条件是 $d = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} \neq 0$ 且此时， $A^{- 1} = \frac{1}{d} (\begin{matrix} a_{22} & - a_{12} \\ - a_{21} & a_{11} \end{matrix})$

证明（充分性）若 $d \neq 0$ ，记 $B = \frac{1}{d} (\begin{matrix} a_{22} & - a_{12} \\ - a_{21} & a_{11} \end{matrix})$ ，经过验算可知 $A B = B A = E$ 所以A为可逆矩阵且 $A^{- 1} = \frac{1}{d} (\begin{matrix} a_{22} & - a_{12} \\ - a_{21} & a_{11} \end{matrix})$

证明（必要性）若A为可逆矩阵，则存在 $B = (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix})$ 使得AB=E，即 $(\begin{matrix} a_{11} b_{11} + a_{12} b_{21} & a_{11} b_{12} + a_{12} b_{22} \\ a_{21} b_{11} + a_{22} b_{21} & a_{21} b_{12} + a_{22} b_{22} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ 据此式可验证 $\begin{aligned} (a_{11} b_{11} + a_{12} b_{21}) (a_{21} b_{12} + a_{22} b_{22}) = 1 \\ (a_{11} b_{12} + a_{12} b_{22}) (a_{21} b_{11} + a_{22} b_{21}) = 0 \end{aligned}$ $\begin{aligned} (a_{11} b_{11} + a_{12} b_{21}) (a_{21} b_{12} + a_{22} b_{22}) - (a_{11} b_{12} + a_{12} b_{22}) (a_{21} b_{11} + a_{22} b_{21}) \\ = & (a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}) (b_{11} b_{22} - b_{12} b_{21}) \\ = & 1 \end{aligned}$ 所以， $d = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} \neq 0$