用初等变换求逆矩阵

作者：追风剑情发布于：2024-5-25 11:04 分类：Algorithms

设A为可逆矩阵，则$A^{-1}(A,E)=(E,A^{-1})$。可由(1.5.2)可得 $$ P_s \cdots P_2 P_1 (A,E) = (E,A^{-1}) $$ 根据定理1.1，上式意味着对分块矩阵(A,E)施行有限次初等变换，当左边的子块化为单位矩阵E的时候，右边的子块就化为$A^{-1}$。于是可得用初等变换求逆矩阵的方法，即 $$ (A,E) \xrightarrow{\text{初等行变换}}(E,A^{-1}) $$ 另一方面， $$ \begin{pmatrix} A \\ E \\ \end{pmatrix} A^{-1} = \begin{pmatrix} E \\ A^{-1} \\ \end{pmatrix} ,\text{即} \quad \begin{pmatrix} A \\ E \\ \end{pmatrix} P_s\cdots P_2P_1 = \begin{pmatrix} E \\ A^{-1} \\ \end{pmatrix} $$ 由定理1.1也可以得到用初等列变换求逆矩阵的方法，即 $$ \begin{pmatrix} A \\ E \\ \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{初等列变换}} \begin{pmatrix} E \\ A^{-1} \\ \end{pmatrix} $$

这两种用初等变换求逆矩阵的方法，便是我们求逆矩阵的常用方法。但是必须注意，当用初等行(列)变换求逆矩阵时，必须始终施以行(列)变换。

例 1.14 用初等行变换求矩阵 $ A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 3 \\ \end{pmatrix} $ 的逆矩阵。

解对分块矩阵(A,E)施以初等行变换得 $$ \begin{aligned} (A,E)&= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 3 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \xrightarrow{ \begin{array}{l} r_2-2r_1 \\ r_3-3r_1 \\ \end{array} } \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -5 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -6 & -3 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} &\\ &\xrightarrow{ \begin{array}{l} r_1+r_2 \\ r_3-r_2 \\ \end{array} } \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -5 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & 1 \\ \end{pmatrix}&\\ &\xrightarrow{ \begin{array}{l} r_1-2r_3 \\ r_2-5r_3 \\ \end{array} } \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 3 & -2 \\ 0 & -2 & 0 & 3 & 6 & -5 \\ 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & 1 \\ \end{pmatrix}&\\ &\xrightarrow{ \begin{array}{l} -\frac{1}{2}r_2 \\ -r_3 \\ \end{array} } \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{3}{2} & -3 & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -1 \\ \end{pmatrix}&\\ \end{aligned} $$ 因此 $ A^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ -\frac{3}{2} & -3 & \frac{5}{2} \\ 1 & 1 & -1 \\ \end{pmatrix} $

例 1.15 求解矩阵方程XA=2X+B，其中 $ A=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 1 \\ 3 & 4 & 5 \\ \end{pmatrix} , B=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} $

解将XA=2X+B整理得，X(A-2E)=B，其中 $ A-2E= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 3 \\ \end{pmatrix} $
由例1.14知，A-2E为可逆矩阵且 $ (A-2E)^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ -\frac{3}{2} & -3 & \frac{5}{2} \\ 1 & 1 & -1 \\ \end{pmatrix} $
故 $ X=B(A-2E)^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ -\frac{3}{2} & -3 & \frac{5}{2} \\ 1 & 1 & -1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -3 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & -2 \\ \end{pmatrix} $

注意，例1.15中的X也可以用下面的方法来计算： $$ \begin{pmatrix} A-2E \\ B \\ \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{初等列变换}} \begin{pmatrix} E \\ B(A-2E)^{-1} \\ \end{pmatrix} $$

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