用初等变换求逆矩阵

作者：追风剑情发布于：2024-5-25 11:04 分类：Algorithms

设A为可逆矩阵，则 $A^{- 1} (A, E) = (E, A^{- 1})$ 。可由(1.5.2)可得 $P_{s} \dots P_{2} P_{1} (A, E) = (E, A^{- 1})$ 根据定理1.1，上式意味着对分块矩阵(A,E)施行有限次初等变换，当左边的子块化为单位矩阵E的时候，右边的子块就化为 $A^{- 1}$ 。于是可得用初等变换求逆矩阵的方法，即 $(A, E) \overset{初等行变换}{\to} (E, A^{- 1})$ 另一方面， $(\begin{matrix} A \\ E \end{matrix}) A^{- 1} = (\begin{matrix} E \\ A^{- 1} \end{matrix}), 即 (\begin{matrix} A \\ E \end{matrix}) P_{s} \dots P_{2} P_{1} = (\begin{matrix} E \\ A^{- 1} \end{matrix})$ 由定理1.1也可以得到用初等列变换求逆矩阵的方法，即 $(\begin{matrix} A \\ E \end{matrix}) \overset{初等列变换}{\to} (\begin{matrix} E \\ A^{- 1} \end{matrix})$

这两种用初等变换求逆矩阵的方法，便是我们求逆矩阵的常用方法。但是必须注意，当用初等行(列)变换求逆矩阵时，必须始终施以行(列)变换。

例 1.14 用初等行变换求矩阵 $A = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 3 \end{matrix})$ 的逆矩阵。

解对分块矩阵(A,E)施以初等行变换得 $\begin{aligned} (A, E) & = (\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}) \overset{\begin{matrix} r_{2} - 2 r_{1} \\ r_{3} - 3 r_{1} \end{matrix}}{\to} (\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 5 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 2 & - 6 & - 3 & 0 & 1 \end{array}) \\ \overset{\begin{matrix} r_{1} + r_{2} \\ r_{3} - r_{2} \end{matrix}}{\to} (\begin{array}{c} 1 & 0 & - 2 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 2 & - 5 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & - 1 & - 1 & 1 \end{array}) \\ \overset{\begin{matrix} r_{1} - 2 r_{3} \\ r_{2} - 5 r_{3} \end{matrix}}{\to} (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 & 3 & - 2 \\ 0 & - 2 & 0 & 3 & 6 & - 5 \\ 0 & 0 & - 1 & - 1 & - 1 & 1 \end{array}) \\ \overset{\begin{matrix} - \frac{1}{2} r_{2} \\ - r_{3} \end{matrix}}{\to} (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 & 3 & - 2 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{3}{2} & - 3 & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & - 1 \end{array}) \end{aligned}$ 因此 $A^{- 1} = (\begin{matrix} 1 & 3 & - 2 \\ - \frac{3}{2} & - 3 & \frac{5}{2} \\ 1 & 1 & - 1 \end{matrix})$

例 1.15 求解矩阵方程XA=2X+B，其中 $A = (\begin{matrix} 3 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 1 \\ 3 & 4 & 5 \end{matrix}), B = (\begin{matrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix})$

解将XA=2X+B整理得，X(A-2E)=B，其中 $A - 2 E = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 3 \end{matrix})$
由例1.14知，A-2E为可逆矩阵且 $(A - 2 E)^{- 1} = (\begin{matrix} 1 & 3 & - 2 \\ - \frac{3}{2} & - 3 & \frac{5}{2} \\ 1 & 1 & - 1 \end{matrix})$
故 $X = B (A - 2 E)^{- 1} = (\begin{matrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 3 & - 2 \\ - \frac{3}{2} & - 3 & \frac{5}{2} \\ 1 & 1 & - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 & - 3 & 3 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 3 & - 2 \end{matrix})$