初等矩阵与可逆矩阵

作者：追风剑情发布于：2024-5-17 11:01 分类：Algorithms

除了逆矩阵的定义之外，如何判断一个矩阵是否可逆呢？由定理1.2可知，在把一个复杂的矩阵分解为若干个简单的矩阵的乘积时，矩阵A与初等矩阵和行最简形矩阵有关。因此，这里把判断任一方阵是否可逆的问题转化为初等矩阵和行最简形矩阵是否可逆的问题来完成，并由此得到用初等变换求逆矩阵的方法。

首先，先看一下初等矩阵的可逆性。

定理 1.5 初等矩阵都可逆，而且初等矩阵的逆矩阵仍是初等矩阵。

证明因为初等矩阵是单位矩阵经过一次初等变换得到的。例如 $$ E\xrightarrow{r_i+kr_j}E(i,j(k)) $$ 于是，$E(i,j(k))\xrightarrow{r_i-kr_j}E$。由定理1.1知，E为E(i,j(k))的左边乘相应的初等矩阵E(i,j(-k))，即 $$ E(i,j(-k))E(i,j(k))=E $$ 将k换成-k，得 $$ E(i,j(k))E(i,j(-k))=E $$ 故E(i,j(k))为可逆矩阵且$(E(i,j(k)))^{-1}=E(i,j(-k))$

同理可证 $E(i,j)^{-1}=E(i,j)，E(i(k))^{-1}=E(i(k^{-1}))$

定理 1.6 方阵A为可逆矩阵的充分必要条件是A可以写为初等矩阵的乘积。

证明（必要性）由定理1.2知，存在初等矩阵$P_1,P_2,\cdots,P_s$和行最简形矩阵U使得 $$ P_s\cdots P_2P_1A=U \tag{1.5.1} $$ 由于A和$P_i(i=1,2,\cdots,s)$均为可逆矩阵，所以U为可逆的。于是根据例1.12可知U=E。对(1.5.1)式左乘以$P^{-1}_1 P^{-1}_2 \cdots P^{-1}_s$可得 $$ \begin{aligned} A&=(P^{-1}_1 P^{-1}_2 \cdots P^{-1}_s)(P_s\cdots P_2P_1A)=(P^{-1}_1 P^{-1}_2 \cdots P^{-1}_s)U \\ &=(P^{-1}_1 P^{-1}_2 \cdots P^{-1}_s)E=(P^{-1}_1 P^{-1}_2 \cdots P^{-1}_s) \\ \end{aligned} $$ 由于$P^{-1}_i(i=1,2,\cdots,s)$仍为初等矩阵，因此A可写成初等矩阵的乘积。

（充分性）若A可以写为初等矩阵的乘积，由于初等矩阵可逆而且可逆矩阵的乘积仍可逆，故A可逆。

由定理1.6及其证明过程可得如下推论。

推论 1.1 方阵A为可逆矩阵的充分必要条件是A可以经过初等行变换化为单位矩阵，即存在初等矩阵$P_1,P_2,\cdots,P_s$使得 $$ P_s\cdots P_2P_1A=E $$ 此时， $$ A=P^{-1}_1 P^{-1}_2 \cdots P^{-1}_s, \quad A^{-1}=P_s\cdots P_2P_1 \tag{1.5.2} $$

定理 1.7 设A为m×n矩阵，则存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q使 $$ A=P \begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \\ \end{pmatrix} Q \tag{1.5.3} $$

证明由定理1.3，存在m阶初等矩阵$P_1,P_2,\cdots,P_s$和n阶初等矩阵$Q_1,Q_2,\cdots,Q_t$使得$P_s\cdots P_2P_1AQ_1Q_2\cdots Q_t=E^{(r)}$，因此 $$ A=P^{-1}_1 P^{-1}_2 \cdots P^{-1}_s E^{(r)} Q^{-1}_t \cdots Q^{-1}_2 Q^{-1}_1 $$ 令$P=P^{-1}_1 P^{-1}_2 \cdots P^{-1}_s, \quad Q=Q^{-1}_t \cdots Q^{-1}_2 Q^{-1}_1$，则P，Q是可逆矩阵，且 $$ A=PE^{(r)}Q= P \begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \\ \end{pmatrix} Q $$

定理1.7中的(1.5.3)式称为矩阵A的标准分解。

例 1.13 求矩阵 $ A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -2 & -4 & 2 \\ \end{pmatrix} $ 的标准分解。

解先对A作初等行变换化成行最简形，再作初等列变换化成等价标准形： $$ A \xrightarrow{r_2+2r_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \xrightarrow{c_2-2c_1} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \xrightarrow{c_3+c_1} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} =E^{(1)} $$ 反过来， $$ E^{(1)}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \xrightarrow{c3-c1} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \xrightarrow{c_2+2c_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \xrightarrow{r_2-2r_1} =A $$ 故 $$ A= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} $$ 令 $$ P=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \\ \end{pmatrix} ,\quad Q=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} $$ 则$A=PE^{(1)}Q$即为A的标准分解。

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