方阵的逆矩阵

作者：追风剑情发布于：2024-4-28 17:15 分类：Algorithms

到现在，我们已经把数的加法与乘法运算“推广”到了矩阵运算，那么自然要问，如何把数的除法运算推广到矩阵运算？在数的运算中，每个数a只要不是零，便有一个数a^-1，使得 $a a^{- 1} = a^{- 1} a = 1$ ，对于除法运算b÷a可以用乘法运算 $b a^{- 1}$ 或 $a^{- 1} b$ 来表示。那么，是否每个矩阵A只要不是零矩阵，便会有一个矩阵B使得AB=BA=E呢？回答是否定的。因为，当矩阵A的行数与列数不相等时，显然就不行。那么是否所有的n阶非零方阵A都有B满足上式？回答也是否定的。

在彻底弄清上述问题之前，我们先给出逆矩阵的定义与基本性质。

1. 逆矩阵的概念

定义 1.8 设A为n阶矩阵，如果存在n阶矩阵B，使得 $A B = B A = E_{n}$ 则称A为可逆矩阵，并称B为A的一个逆矩阵。否则，便说A是不可逆的。

如果B与C都是A的逆矩阵，即AB=BA=E，AC=CA=E，则有 $B = B E = B (A C) = (B A) C = E C = C$ 由此可得如下定理。

定理 1.4 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的，记作 $A^{- 1}$

例如，单位矩阵E是可逆的，而且 $E^{- 1} = E$

例 1.11 判断矩阵 $A = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})$ 是否可逆。

解对于任意的 $B = (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix})$ ，有 $A B = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ 0 & 0 \end{matrix}) \neq (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$

可见，不存在方阵B使得AB=E。所以A不可逆。

从上面的这个例子可以看出：

（1）并非所有非零方阵都是可逆的。
（2）如果一个矩阵中有某一行元素全为零（即这个矩阵有零行），那么这个矩阵一定不可逆。

例 1.12 证明可逆的行最简形矩阵为单位矩阵。

证明设A为n阶可逆的行最简形矩阵，则A中无零行。因而A中每一行都是非零行，且非零首元为1，这些1所在的列的其余元素均为零。而A一共只有n列，故A=E。

利用定义1.8可以得到可逆矩阵的以下性质。

性质 1.5 设A与B都是n阶可逆矩阵，k是不为零的数，则 $A^{- 1}, A^{T}, k A$ 以及AB都是可逆矩阵，而且
（1） $(A^{- 1})^{- 1} = A$ ;
（2） $(A^{T})^{- 1} = (A^{- 1})^{T}$ ;
（3） $(k A)^{- 1} = k^{- 1} A^{- 1}$
（4） $(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$

证明这里只证明性质(4)，其余性质由读者自己完成。

事实上，因为 $\begin{array}{r} (A B) (B^{- 1} A^{- 1}) = A (B B^{- 1}) A^{- 1} = A E A^{- 1} = E \\ (B^{- 1} A^{- 1}) (A B) = B^{- 1} (A^{- 1} A) B = B^{- 1} E B = E \end{array}$ 所以 $(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$ 。