矩阵的转置(二)

作者：追风剑情发布于：2024-4-25 18:17 分类：Algorithms

定义 1.5 把矩阵 $A = (a_{i j})_{m \times n}$ 的行依次换成同序数的列得到的n×m矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作 $A^{T}$ 。

例如，矩阵 $A = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix})$ 的转置矩阵 $A^{T} = (\begin{matrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{matrix})$

性质 1.4 矩阵的转置运算满足下列运算规律（假设其中的运算都是可行的）：

（1） $(A^{T})^{T} = A$
（2） $(A + B)^{T} = A^{T} + B^{T}$
（3） $(k A)^{T} = k A^{T}, 其中k为任意数$
（4） $(A B)^{T} = B^{T} A^{T}$

证明下面只验证(4)，其余的留给读者自己验证。

设 $A = (a_{i k})_{m \times s}, B = (b_{k j})_{s \times n}$ ，则AB是m×n矩阵， $B^{T} A^{T}$ 是n×m矩阵，记 $A B = C = (c_{i j})_{m \times n}, B^{T} A^{T} = D = (d_{i j})_{n \times m}$ 于是有 $C^{T} = c_{j i} = \begin{array}{r} \sum_{k = 1}^{s} a_{j k} b_{k i} \end{array}$

又因为矩阵 $B^{T}$ 的第i行为 $(b_{1 i}, \dots, b_{s i})$ ， $A^{T}$ 的第j列为 $(\begin{matrix} a_{j 1} \\ ⋮ \\ a_{j s} \end{matrix})$ ，因此 $D = d_{i j} = \sum_{k = 1}^{s} b_{k i} a_{j k}$ $C^{T} = c_{j i} = \sum_{k = 1}^{s} a_{j k} b_{k i} = \sum_{k = 1}^{s} b_{k i} a_{j k} = d_{i j} = D$

由此可见 $C^{T} = D$ ，即 $(A B)^{T} = B^{T} A^{T}$ 。

对于多个矩阵的乘积的转置，用数学归纳法容易证明 $(A_{1} A_{2} \dots A_{k})^{T} = A_{k}^{T} \dots A_{2}^{T} A_{1}^{T}$

若 $A^{T} = A$ ，则称A为对称矩阵；若 $A^{T} = - A$ ，则称A为反对称矩阵。对称矩阵与反对称矩阵是两种重要的特殊方阵。易知，对称矩阵关于主对角线对称，反对称矩阵的主对角线上的元素全部为零。例如， $A = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & - 1 \\ 3 & - 1 & 2 \end{matrix})$ 为对称矩阵， $B = (\begin{matrix} 0 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 1 & 0 \end{matrix})$ 为反对称矩阵。

例 1.6 证明任意一个n阶矩阵都可以表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和。

证明任意一个n阶矩阵A都可以写成 $A = \frac{1}{2} (A + A^{T}) + \frac{1}{2} (A - A^{T})$ 由于 $\begin{aligned} {[\frac{1}{2} (A + A^{T})]}^{T} & = \frac{1}{2} [A^{T} + (A^{T})^{T}] = \frac{1}{2} (A + A^{T}) \\ {[\frac{1}{2} (A - A^{T})]}^{T} & = \frac{1}{2} [A^{T} - (A^{T})^{T}] = - \frac{1}{2} (A - A^{T}) \end{aligned}$