矩阵的基本概念

作者：追风剑情发布于：2024-4-10 16:52 分类：Algorithms

线性代数主要处理与数量的线性关系相关的问题，和其他数学课程一样，线性代数有两类基本的数学构件：一类是对象、数据；一类是这些对象进行的运算，本章就是讨论最简单的由数形成的矩形数表——矩阵及其运算，矩阵是线性代数的一个最基本的概念。矩阵的运算是线性代数的基本内容。在数学科学、自然科学、工程技术与生产实践中，有许多问题都可以归结为矩阵的运算，进而用矩阵的理论来处理。

本章首先介绍矩阵的概念，然后介绍矩阵的线性运算、乘法、转置、可逆矩阵、矩阵的初等变换、分块矩阵以及方阵的行列式和矩阵的秩.

» 矩阵的基本概念

在现实生活中，人们往往不仅需要使用单个的数，而且还要处理成批的数。这就需要把数的概念推广到矩阵。

定义 1.1 由m×n个数 $a_{i j} (i = 1, 2, \dots, m; j = 1, 2, \dots, n)$ 按一定的次序排成m行n列的表 $A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix})$ 称为一个m行n列的矩阵。横的每排叫做矩阵的行，纵的每排叫做矩阵的列。 $a_{i j}$ 叫做矩阵A的第i行，第j列的元素。i和j分别叫做 $a_{i j}$ 的行指标和列指标。矩阵A又可记作 $(a_{i j})$ ， $(a_{i j})_{m \times n}$ 或 $A_{m \times n}$ 。通常用大写英文字母A，B，C， $\dots$ 来表示矩阵。

例如变量 $x_{1}, x_{2}$ 与 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 的关系式 ${\begin{array}{r} x_{1} = a_{11} y_{1} + a_{12} y_{2} + a_{13} y_{3} \\ x_{2} = a_{21} y_{1} + a_{22} y_{2} + a_{23} y_{3} \end{array}$ 中的系数就构成一个矩阵 $A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{matrix})$

元素都是实数的矩阵称为实矩阵，元素都是复数的矩阵称为复矩阵.

当一个矩阵的行数与列数都是n时，称该矩阵为n阶方阵或n阶矩阵。在n阶矩阵A中，元素 $a_{i j} (i = 1, 2, \dots, n)$ 排成的对角线称为方阵的主对角线。

一个m行1列的矩阵 $A_{m \times 1} = (\begin{matrix} a_{11} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{matrix})$ 称为一个列矩阵或列向量。我们常用希腊字母 $α, β, γ, \dots$ 表示列向量。

类似地，一个1行n列的矩阵 $A_{1 \times n} = (a_{11} \dots a_{1 n})$ 称为一个行矩阵或行向量。为了醒目起见，我们通常在行向量的元素之间加上逗号，即 $A_{1 \times n} = (a_{11}, \dots, a_{1 n})$ 。

特别地，一个1×1的矩阵 $(a_{11})$ 就是一个数，此时可以将括号去掉，直接记成 $a_{11}$ 。这就是说，数可看成矩阵的特例。

» 几种特殊的矩阵

在利用矩阵解决问题时，经常遇到下面几种特殊矩阵。

零矩阵：若一个矩阵的所有元素均为零，则这个矩阵称为零矩阵，记为O。

对角矩阵：若一个n阶矩阵除主对角线上的元素之外，其余元素全部为零，则称此矩阵为对角矩阵，通常用Λ表示，即 $Λ = (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{22} \\ ⋱ \\ a_{n n} \end{matrix})$ 这里非主对角线上的元素0可以省略不写，或记为Λ=diag $(a_{11}, a_{22}, \dots, a_{n n})$ 。

数量矩阵：若对角矩阵Λ的主对角线上的元素为同一个数a，即 $a_{11} = a_{22} = \dots = a_{n n} = a$ ，则称此矩阵为数量矩阵。

单位矩阵：若n阶数量矩阵的主对角线上的元素为1，则此矩阵称为单位矩阵，记为E或E_n，即 $E = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ ⋱ \\ 1 \end{matrix})$

三角矩阵：若一个方阵的主对角线下(上)面的元素全为零，则此矩阵称为上(下)三角矩阵。上、下三角矩阵统称为三角矩阵。

行阶梯形矩阵：若一个矩阵 $A = (a_{i j}) m \times n$ 中的某一行元素全为零，则称这一行为零行，否则称之为非零行。非零行的第一个非零元素称为非零首元。若A的各非零行的非零首元的列指标随着行指标的增大而严格增大，并且零行（如果有的话）均在所有非零行的下方，则此矩阵称为行阶梯形矩阵。例如

行最简形矩阵：若一个行阶梯形矩阵的每个非零行的非零首元均为1，并且此非零首元所在列的其余元素均为零，则此矩阵称为行最简形矩阵。例如 $(\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})$ 是行最简形矩阵。