分块矩阵

作者：追风剑情发布于：2024-4-1 18:18 分类：Algorithms

基本概念

在处理阶数比较高的矩阵的时候，将其“分割”成一些低阶的矩阵往往能够起到化简计算的作用或者为推理提供新的思路。例如 $\begin{aligned} A = [\begin{array}{cc} \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} & \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 4 & 5 \\ 6 & 7 \end{array} \\ \begin{array}{ccc} 3 & 2 & 1 \\ 6 & 5 & 4 \end{array} & \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \end{array}] \end{aligned}$ 可以表示为 $\begin{aligned} A = [\begin{array}{cc} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{array}] \end{aligned}$ 其中 $A_{11} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}), A_{12} = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \\ 6 & 7 \end{matrix}), A_{21} = (\begin{matrix} 3 & 2 & 1 \\ 6 & 5 & 4 \end{matrix}), A_{22} = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})$

一般地，我们把矩阵A用一些横线和纵线分成s×t个“小矩阵” $A_{k l} (k = 1, 2, \dots, s; l = 1, 2, \dots, t)$ 称为A的子块。于是A可以表示为以这些子块为元素的形式上的矩阵，即 $A = (\begin{matrix} A_{11} & \dots & A_{1 t} \\ ⋮ & ⋮ \\ A_{s 1} & \dots & A_{s t} \end{matrix})$ 上式中等号右边的形式上的矩阵称为分块矩阵。

常用的分块矩阵

给定一个矩阵，究竟如何分块，要视具体情况而定。

常用的分块方法主要有三种。

（1）按列分块

把矩阵 $A = (a_{i j})_{m \times n}$ 的每一列作为一个子块，依次记为 $α_{1}, \dots, α_{n}$ ，可以得到如下分块矩阵 $A = (α_{1}, \dots, α_{n})$ 其中 $α_{j} = (\begin{matrix} α_{1 j} \\ ⋮ \\ α_{m j} \end{matrix})$ 称为A的列向量 $(j = 1, 2, \dots, n)$

（2）按行分块

把矩阵 $B = (b_{i j})_{m \times n}$ 的每一行作为一个子块，依次记为 $β_{1}, \dots, β_{m}$ ，可以得到如下分块矩阵 $B = (\begin{matrix} β_{1} \\ ⋮ \\ β_{m} \end{matrix})$ 其中 $β_{i} = (b_{i 1}, \dots, b_{i n})$ 称为B的行向量 $(i = 1, 2, \dots, m)$

（3）若分块矩阵 $(\begin{matrix} A_{11} \\ ⋱ \\ A_{s s} \end{matrix})$ 中 $A_{i i} (i = 1, 2, \dots, s)$ 均为方阵，其余子块均为零矩阵，则称该分块矩阵为分块对角矩阵，简记为 $d i a g (A_{11}, \dots, A_{s s})$ 。注意分块对角矩阵中主对角线上的各子块 $A_{i i}$ 的阶数可以互不相同。

基本运算

下面介绍分块矩阵的基本运算。

（1）分块矩阵的加法

设分块矩阵 $A = (A_{k l})_{s \times t}$ 与 $B = (B_{k l})_{s \times t}$ 的对应子块 $A_{k l}$ 和 $B_{k l}$ 都是同型矩阵 $(k = 1, 2, \dots, s; l = 1, 2, \dots, t)$ ，则 $A + B = (A_{k l} + B_{k l})_{s \times t}$

（2）分块矩阵的数乘

设分块矩阵 $A = (A_{k l})_{s \times t}$ ，λ是一个数，则 $λ A = (λ A_{k l})_{s \times t}$

（3）分块矩阵的乘法

设分块矩阵 $A = (A_{i j}) ， B = (B_{j k})$ ，其中 $A_{i j}$ 的列数等于 $B_{j k}$ 的行数（i=1,2, $\dots$ ,r; j=1,2, $\dots$ ,s; k=1,2, $\dots$ ,t），则

A B = (\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1 s} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2 s} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ A_{r 1} & A_{r 2} & \dots & A_{r s} \end{matrix}) (\begin{matrix} B_{11} & B_{12} & \dots & B_{1 t} \\ B_{21} & B_{22} & \dots & B_{2 t} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ B_{s 1} & B_{s 2} & \dots & B_{s t} \end{matrix}) = (C_{i k})

其中

C_{i k} = A_{i 1} B_{1 k} + A_{i 2} B_{2 k} + \dots + A_{i s} B_{s k} (i = 1, 2, \dots, r; k = 1, 2, \dots, t)

例如，设 $A = (a_{i j})_{s \times n}$ ， $B = (b_{j k})_{n \times t}$ ，若对B按行分块，即 $B = (\begin{matrix} β_{1} \\ ⋮ \\ β_{n} \end{matrix})$ ，则 $A B = (\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{s 1} & \dots & a_{s n} \end{matrix}) (\begin{matrix} β_{1} \\ ⋮ \\ β_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{11} β_{1} + \dots + a_{1 n} β_{n} \\ ⋮ \\ a_{s 1} β_{1} + \dots + a_{s n} β_{n} \end{matrix})$

若对B按列分块，即 $B = (B_{1}, \dots, B_{t})$ ，则 $A B = A (B_{1}, \dots, B_{t}) = (A B_{1}, \dots, A B_{t})$ 。若对A按列分块，即 $A = (α_{1}, \dots, α_{n})$ ，则 $\begin{aligned} A B & = (α_{1}, \dots, α_{n}) (\begin{array}{c} b_{11} & \dots & b_{1 t} \\ ⋮ & ⋮ \\ b_{n 1} & \dots & b_{n t} \end{array}) \\ = (b_{11} α_{1} + \dots + b_{n 1} α_{n}, \dots, b_{1 t} α_{1} + \dots + b_{n t} α_{n}) \end{aligned}$

若对A按行分块，即 $A = (\begin{matrix} A_{1} \\ ⋮ \\ A_{s} \end{matrix})$ ，则 $A B = (\begin{matrix} A_{1} \\ ⋮ \\ A_{s} \end{matrix}) B = (\begin{matrix} A_{1} B \\ ⋮ \\ A_{s} B \end{matrix})$

对线性方程组Ax=b而言，如果对A按列分块，即 $A = (α_{1}, \dots, α_{n})$ 那么Ax=b等价于 $x_{1} α_{1} + \dots + x_{n} α_{n} = b$

（4）分块矩阵的转置

设分块矩阵 $A = (\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1 t} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2 t} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ A_{s 1} & A_{s 2} & \dots & A_{s t} \end{matrix})$ ,则A的转置矩阵为 $A^{T} = (\begin{matrix} A_{11}^{T} & A_{12}^{T} & \dots & A_{1 t}^{T} \\ A_{21}^{T} & A_{22}^{T} & \dots & A_{2 t}^{T} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ A_{s 1}^{T} & A_{s 2}^{T} & \dots & A_{s t}^{T} \end{matrix})$

例 1.7 设 $A = (\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{matrix})$ , $B = (\begin{matrix} 1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & - 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & - 3 \end{matrix})$ ，求AB

解将矩阵A，B进行分块如下： $A = (\begin{matrix} A_{11} & E_{2} \\ O_{2} & A_{22} \end{matrix}), B = (\begin{matrix} E_{2} & B_{12} \\ O_{2} & B_{22} \end{matrix})$ 其中 $A_{11} = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix}), E_{2} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}), O_{2} = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}), A_{22} = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{matrix}), B_{12} = (\begin{matrix} 3 & 1 \\ 2 & - 1 \end{matrix}), B_{22} = (\begin{matrix} - 2 & 3 \\ 0 & - 3 \end{matrix})$ ，则 $\begin{aligned} A B = (\begin{array}{c} A_{11} & E_{2} \\ O_{2} & A_{22} \end{array}) (\begin{array}{c} E_{2} & B_{12} \\ O_{2} & B_{22} \end{array}) = (\begin{array}{c} A_{11} & A_{11} B_{12} + B_{22} \\ O_{2} & A_{22} B_{22} \end{array}) \end{aligned}$ 其中 $\begin{aligned} A_{11} B_{12} + B_{22} = (\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array}) (\begin{array}{c} 3 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} - 2 & 3 \\ 0 & - 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 5 & 2 \\ 2 & - 4 \end{array}) \end{aligned}$ $\begin{aligned} A_{22} B_{22} = (\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{array}) (\begin{array}{c} - 2 & 3 \\ 0 & - 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 4 & 3 \\ 0 & - 9 \end{array}) \end{aligned}$ 于是可得 $A B = (\begin{matrix} 1 & 2 & 5 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & - 4 \\ 0 & 0 & - 4 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & - 9 \end{matrix})$