初等矩阵

作者：追风剑情发布于：2024-3-11 19:39 分类：Algorithms

在算术中，大于等于2的整数可以分解为若干个素数的乘积，自然地会想到矩阵是否也能进行类似的分解，即能否把一个复杂的矩阵分解为若干个比较简单的矩阵的乘积。

最简单的矩阵是单位矩阵与零矩阵。其次，比较简单的矩阵是对单位矩阵进行一次初等变换所得到的方阵，这样的矩阵称为初等矩阵，与三种类型的初等变换相对应，有以下三种类型的初等矩阵。

（1）对换矩阵——交换单位矩阵的第i行(列)与第j行(列)所得到的矩阵

示例：交换r1与r3 $$ \begin{flalign} &E(1,3)=\left[ \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] \xrightarrow{r_1 \leftrightarrow r_3} \left[ \begin{array}{l} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right] &\\ \end{flalign} $$

（2）倍乘矩阵——用不为零的数k去乘单位矩阵的第i行(列)所得到的矩阵

示例：k乘第2行 $$ \begin{flalign} &E(2(k))=\left[ \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] &\\ \end{flalign} $$

（3）倍加矩阵——将单位矩阵的第j行(i列)乘以常数k加到第i行(j列)(j≠i)得到的矩阵

示例：第3行乘k加到第1行 $$ \begin{flalign} &E(1,3(k))=\left[ \begin{array}{l} 1 & 0 & k \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] &\\ \end{flalign} $$

这样，初等变换与初等矩阵就可以建立起对应关系。事实上，把$A_{m×n}$按列分块得$A_{m×n}=(α_1,\cdots,α_n)$，则有 $$ \begin{flalign} &A=(α_1,\cdots,α_i,\cdots,α_j,\cdots,α_n) \xrightarrow{c_i \leftrightarrow c_j} (α_1,\cdots,α_j,\cdots,α_i,\cdots,α_n)=AE(i,j); &\\ &A=(α_1,\cdots,α_i,\cdots,α_n) \xrightarrow{kc_i} (α_1,\cdots,kα_i,\cdots,α_n)=AE(i(k)) &\\ &A=(α_1,\cdots,α_i,\cdots,α_j,\cdots,α_n) \xrightarrow{c_i + kc_j} (α_1,\cdots,α_i + kα_j,\cdots,α_j,\cdots,α_n)=AE(i,j(k)) &\\ \end{flalign} $$

类似地，把$A_{m×n}$按行分块并进行初等行变换则可以验证 $$ \begin{flalign} &A \xrightarrow{r_i \leftrightarrow r_j} E(i,j)A, \quad A \xrightarrow{kr_i} E(i(k))A, \quad A \xrightarrow{r_i + kr_j} E(i,j(k))A &\\ \end{flalign} $$

因此有下面的定理。

定理 1.1 设A为一个m×n矩阵，对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵；对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵。

例 1.9 设 $ A=\left[ \begin{array}{l} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right] $ ， $ B=\left[ \begin{array}{l} -a_{21} & -a_{22} \\ a_{11}+2a_{21} & a_{12}+2a_{22} \\ \end{array} \right] $ ，问A经过何种初等变化成B？写出相应的初等矩阵并将B表示成这些初等矩阵与A的乘积。

解 $ A \xrightarrow{r_1 \leftrightarrow 2r_2} \left[ \begin{array}{l} a_{11}+2a_{21} & a_{12}+2a_{22} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{array} \right] \xrightarrow{r_1 \leftrightarrow r_2} \left[ \begin{array}{l} a_{21} & a_{22} \\ a_{11}+2a_{21} & a_{12}+2a_{22} \\ \end{array} \right] \xrightarrow{(-1)×r_1} \left[ \begin{array}{l} -a_{21} & -a_{22} \\ a_{11}+2a_{21} & a_{12}+2a_{22} \\ \end{array} \right] $ 而 $r_1 + 2r_2, \; r_1 \leftrightarrow r_2 $ 和 $(-1) \cdot r_1$ 对应的初等矩阵分别为 $$ P_1= \left[ \begin{array}{l} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right] ,\quad P_2= \left[ \begin{array}{l} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right] ,\quad P_3= \left[ \begin{array}{l} -1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right] $$ 由定理1.1得 $B=P_3 P_2 P_1 A$

例 1.10 设矩阵 $ A=\left[ \begin{array}{l} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{array} \right] $

（1）用初等行变换将A化为行最简形矩阵U，并将U表示成A与初等矩阵的乘积。
（2）求A的等价标准形$E^{(r)}$，并将$E^{(r)}$表示成A与初等矩阵的乘积。

解（1）对矩阵A施行如下初等行变换可得 $$ A=\left[ \begin{array}{l} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{array} \right] \xrightarrow{r_3 - r_2} \left[ \begin{array}{l} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right] \xrightarrow{r_1 + r_2} \left[ \begin{array}{l} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right] =U $$ 由定理1.1得 $ U=\left[ \begin{array}{l} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ \end{array} \right] A $

（2）对矩阵U施行如下初等列变换可得 $$ U=\left[ \begin{array}{l} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right] \xrightarrow{c_3 - c_1} \left[ \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right] \xrightarrow{c_3 - c_2} \left[ \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right] =E^{(2)} $$ 由定理1.1得 $$ E^{(2)}= \left[ \begin{array}{l} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ \end{array} \right] A \left[ \begin{array}{l} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] $$

例1.10可以推广到一般情形，从而得到以下两个定理。

定理 1.2 设A为m×n矩阵，则存在行最简形矩阵U和m阶初等矩阵$P_1，P_2，\cdots，P_s$，使得$P_s \cdots P_2 P_1 A=U$。

定理 1.3 设A为m×n矩阵，则存在m阶初等矩阵$P_1，P_2，\cdots，P_s$以及n阶初等矩阵$Q_1，Q_2，\cdots，Q_t$使得$P_s \cdots P_2 P_1 A Q_1 Q_2 \cdots Q_t=E^{(r)}$，其中r是一个不超过min(m,n)的非负整数。

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