初等矩阵

作者：追风剑情发布于：2024-3-11 19:39 分类：Algorithms

在算术中，大于等于2的整数可以分解为若干个素数的乘积，自然地会想到矩阵是否也能进行类似的分解，即能否把一个复杂的矩阵分解为若干个比较简单的矩阵的乘积。

最简单的矩阵是单位矩阵与零矩阵。其次，比较简单的矩阵是对单位矩阵进行一次初等变换所得到的方阵，这样的矩阵称为初等矩阵，与三种类型的初等变换相对应，有以下三种类型的初等矩阵。

（1）对换矩阵——交换单位矩阵的第i行(列)与第j行(列)所得到的矩阵

示例：交换r1与r3 $\begin{aligned} E (1, 3) = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \overset{r_{1} \leftrightarrow r_{3}}{\to} [\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}] \end{aligned}$

（2）倍乘矩阵——用不为零的数k去乘单位矩阵的第i行(列)所得到的矩阵

示例：k乘第2行 $\begin{aligned} E (2 (k)) = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \end{aligned}$

（3）倍加矩阵——将单位矩阵的第j行(i列)乘以常数k加到第i行(j列)(j≠i)得到的矩阵

示例：第3行乘k加到第1行 $\begin{aligned} E (1, 3 (k)) = [\begin{matrix} 1 & 0 & k \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \end{aligned}$

这样，初等变换与初等矩阵就可以建立起对应关系。事实上，把 $A_{m \times n}$ 按列分块得 $A_{m \times n} = (α_{1}, \dots, α_{n})$ ，则有 $\begin{aligned} A = (α_{1}, \dots, α_{i}, \dots, α_{j}, \dots, α_{n}) \overset{c_{i} \leftrightarrow c_{j}}{\to} (α_{1}, \dots, α_{j}, \dots, α_{i}, \dots, α_{n}) = A E (i, j); \\ A = (α_{1}, \dots, α_{i}, \dots, α_{n}) \overset{k c_{i}}{\to} (α_{1}, \dots, k α_{i}, \dots, α_{n}) = A E (i (k)) \\ A = (α_{1}, \dots, α_{i}, \dots, α_{j}, \dots, α_{n}) \overset{c_{i} + k c_{j}}{\to} (α_{1}, \dots, α_{i} + k α_{j}, \dots, α_{j}, \dots, α_{n}) = A E (i, j (k)) \end{aligned}$

类似地，把 $A_{m \times n}$ 按行分块并进行初等行变换则可以验证 $\begin{aligned} A \overset{r_{i} \leftrightarrow r_{j}}{\to} E (i, j) A, A \overset{k r_{i}}{\to} E (i (k)) A, A \overset{r_{i} + k r_{j}}{\to} E (i, j (k)) A \end{aligned}$

因此有下面的定理。

定理 1.1 设A为一个m×n矩阵，对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵；对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵。

例 1.9 设 $A = [\begin{array}{l} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}]$ ， $B = [\begin{array}{l} - a_{21} & - a_{22} \\ a_{11} + 2 a_{21} & a_{12} + 2 a_{22} \end{array}]$ ，问A经过何种初等变化成B？写出相应的初等矩阵并将B表示成这些初等矩阵与A的乘积。

解 $A \overset{r_{1} \leftrightarrow 2 r_{2}}{\to} [\begin{array}{l} a_{11} + 2 a_{21} & a_{12} + 2 a_{22} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}] \overset{r_{1} \leftrightarrow r_{2}}{\to} [\begin{array}{l} a_{21} & a_{22} \\ a_{11} + 2 a_{21} & a_{12} + 2 a_{22} \end{array}] \overset{(- 1) \times r_{1}}{\to} [\begin{array}{l} - a_{21} & - a_{22} \\ a_{11} + 2 a_{21} & a_{12} + 2 a_{22} \end{array}]$ 而 $r_{1} + 2 r_{2}, r_{1} \leftrightarrow r_{2}$ 和 $(- 1) \cdot r_{1}$ 对应的初等矩阵分别为 $P_{1} = [\begin{array}{l} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array}], P_{2} = [\begin{array}{l} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}], P_{3} = [\begin{array}{l} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ 由定理1.1得 $B = P_{3} P_{2} P_{1} A$

例 1.10 设矩阵 $A = [\begin{array}{l} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}]$

（1）用初等行变换将A化为行最简形矩阵U，并将U表示成A与初等矩阵的乘积。
（2）求A的等价标准形 $E^{(r)}$ ，并将 $E^{(r)}$ 表示成A与初等矩阵的乘积。

解（1）对矩阵A施行如下初等行变换可得 $A = [\begin{array}{l} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] \overset{r_{3} - r_{2}}{\to} [\begin{array}{l} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}] \overset{r_{1} + r_{2}}{\to} [\begin{array}{l} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}] = U$ 由定理1.1得 $U = [\begin{array}{l} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] A$

（2）对矩阵U施行如下初等列变换可得 $U = [\begin{array}{l} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}] \overset{c_{3} - c_{1}}{\to} [\begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}] \overset{c_{3} - c_{2}}{\to} [\begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}] = E^{(2)}$ 由定理1.1得 $E^{(2)} = [\begin{array}{l} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] A [\begin{array}{l} 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

例1.10可以推广到一般情形，从而得到以下两个定理。

定理 1.2 设A为m×n矩阵，则存在行最简形矩阵U和m阶初等矩阵 $P_{1} ， P_{2} ， \dots ， P_{s}$ ，使得 $P_{s} \dots P_{2} P_{1} A = U$ 。

定理 1.3 设A为m×n矩阵，则存在m阶初等矩阵 $P_{1} ， P_{2} ， \dots ， P_{s}$ 以及n阶初等矩阵 $Q_{1} ， Q_{2} ， \dots ， Q_{t}$ 使得 $P_{s} \dots P_{2} P_{1} A Q_{1} Q_{2} \dots Q_{t} = E^{(r)}$ ，其中r是一个不超过min(m,n)的非负整数。