矩阵初等变换

作者：追风剑情发布于：2024-3-4 17:17 分类：Algorithms

线性代数的一个重要而基本的方面，就是线性方程组的求解。早在我国古代重要的数学著作《九章算术》就详细地讨论了线性方程组的解法，为线性代数铺下了第一块基石。

例如求解线性方程组 $$ \begin{equation} (Ⅰ) \quad \left\{ \begin{aligned} 2x_1 + x_2 = 1, \quad (1) \\ x_1 + x_2 = 1, \quad (2) \end{aligned} \right. \end{equation} $$ 首先交换(1)式和(2)式得 $$ \begin{equation} (Ⅱ) \quad \left\{ \begin{aligned} x_1 + x_2 = 1, \quad (3) \\ 2x_1 + x_2 = 1, \quad (4) \end{aligned} \right. \end{equation} $$ 其次将第(4)式减去第(3)式的2倍得 $$ \begin{equation} (Ⅲ) \quad \left\{ \begin{aligned} x_1 + x_2 = 1, \quad (5) \\ -x_2 = -1, \quad (6) \end{aligned} \right. \end{equation} $$ 最后将(6)式加到(5)式，再在(6)式两边乘以-1，得 $$ \begin{equation} (Ⅳ) \quad \left\{ \begin{aligned} x_1 = 0, \quad \\ x_2 = 1. \quad \end{aligned} \right. \quad \quad \quad \quad \end{equation} $$ 这就是经典的高斯消元法的过程。由于方程组(Ⅰ)对应一个矩阵 $$ A=\left( \begin{array}{l} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right) $$ 这里A的第一行对应第(1)式，A的第二行对应第(2)式。

用$r_i \leftrightarrow r_j$表示交换第i行和第j行；$kr_i$表示第i行乘以非零的数k；$r_i + kr_j$表示将第j行的每个元素的k倍加到第i行对应的元素上。

于是，上述消元法求解过程可用矩阵表示。 $$ \begin{aligned} &A=\left( \begin{array}{l} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right) \xrightarrow{r_1 \leftrightarrow r_2} \left( \begin{array}{l} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{array} \right) \xrightarrow{r_2 - 2r_1} \left( \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{array} \right) \\ & \xrightarrow{r_1 + r_2} \left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \end{array} \right) \xrightarrow{(-1)\cdot r_2} \left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right)=\mathbf{B} \end{aligned} $$ 其中B为行最简形矩阵，它对应于方程组(IV)。

行最简形矩阵要满足的条件：
（1）所有非零行的第一个非零元素必须为1。
（2）所有非零行的第一个非零元素所在列的其它元素必须为0。

定义 1.6 矩阵的下面三种变换统称为矩阵的初等行变换(初等列变换)。
（1）对换变换 交换矩阵的第i行(列)与第j行(列)，记作$r_i \leftrightarrow r_j \; (c_i \leftrightarrow c_j)$；
（2）倍乘变换 用不为零的数k去乘以矩阵的第i行(列)，记作$kr_i \; (kc_i)$；
（3）倍加变换 把矩阵的第j行(列)乘以数k加到第i行(列)，记作$r_i + kr_j \; (c_i + kc_j)$。
初等行变换和初等列变换统称为初等变换。

注 1.5 从下面的变换过程容易看出上述三种初等变换都是可逆的。 $$ \begin{flalign} &(1)\quad A \xrightarrow {r_i \leftrightarrow r_j} B \xrightarrow {r_i \leftrightarrow r_j} A. \quad \quad \quad \; \; A \xrightarrow {c_i \leftrightarrow c_j} B \xrightarrow {c_i \leftrightarrow c_j} A. &\\ &(2)\quad A \xrightarrow {kr_i} B \xrightarrow{\frac{1}{k}r_i} A. \quad \quad \quad \quad \quad \; A \xrightarrow {kc_i} B \xrightarrow{\frac{1}{k}c_i} A. &\\ &(3)\quad A \xrightarrow{r_i + kr_j} B \xrightarrow{r_i - kr_j} A. \quad \quad \quad \; A \xrightarrow{c_i + kc_j} B \xrightarrow{c_i - kc_j} A. \end{flalign} $$

定义 1.7 如果矩阵A可以经过有限次初等变换化为矩阵B，就称矩阵A与矩阵B等价，记作$\mathbf{A}\cong\mathbf{B}$.

矩阵之间的等价有下面的性质。
（1）反身性：$\mathbf{A}\cong\mathbf{A}$
（2）对称性：若$\mathbf{A}\cong\mathbf{B}$，则$\mathbf{B}\cong\mathbf{A}$
（3）传递性：若$\mathbf{A}\cong\mathbf{B}，\mathbf{B}\cong\mathbf{C}$，则$\mathbf{A}\cong\mathbf{C}$
数学中把具有上述三条性质的关系叫做等价关系。

若矩阵$A_{m×n}$与分块矩阵 $$ \begin{aligned} E^{(r)}_{m×n}= \left( \begin{array}{l} E_{r×r} & O_{r×(n-r)} \\ O_{(m-r)×r} & O_{(m-r)×(n-r)} \end{array} \right) \end{aligned} $$ 等价，则称$E^{(r)}_{m×n}$为$A_{m×n}$的等价标准形。注意，当r=0时，$E^{(0)}_{m×n}$就是零矩阵$O_{m×n}$。

例 1.8 用初等行变换将矩阵 $ \begin{aligned} A= \left( \begin{array}{l} 1 & 1 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 5 & 7 \\ \end{array} \right) \end{aligned} $ 化为行最简形，再利用列变换化为等价标准形。

解对A作初等行变换得 $$ \begin{aligned} &A \xrightarrow{\begin{array}{l} r_2+r_1 \\ r_3-r_1 \end{array}} \left( \begin{array}{l} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 3 & 4 & 5 \\ \end{array} \right) \xrightarrow{r3-r2} \left( \begin{array}{l} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \\ &\xrightarrow{\frac{1}{3}r_2} \left( \begin{array}{l} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & \frac{4}{3} & \frac{5}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \xrightarrow{r_1 - r_2} \left( \begin{array}{l} 1 & 0 & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{4}{3} & \frac{5}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) = B \end{aligned} $$ 这里B为行最简形矩阵。再对B作初等列变换得 $$ B \xrightarrow{ \begin{array}{l} c_3 + \frac{1}{3}c_1 \\ c_4 - \frac{1}{3}c_1 \end{array} } \left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{3} & \frac{5}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \xrightarrow{ \begin{array}{l} c_3 - \frac{4}{3}c_2 \\ c_4 - \frac{5}{3}c_2 \end{array} } \left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) = E^{(2)}_{3×4} $$

一般地，按上述方法讨论可知，对于任意m×n矩阵A，可以实施有限次初等行变换，化为行最简形矩阵；而且总可以经过有限次初等变换（行变换和列变换），把它化为等价标准形。

注意，矩阵$A_{m×n}$的等价标准形$E^{(r)}_{m×n}$是由$A_{m×n}$唯一确定的。

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