矩阵初等变换

作者：追风剑情发布于：2024-3-4 17:17 分类：Algorithms

线性代数的一个重要而基本的方面，就是线性方程组的求解。早在我国古代重要的数学著作《九章算术》就详细地讨论了线性方程组的解法，为线性代数铺下了第一块基石。

例如求解线性方程组 $(Ⅰ) {\begin{array}{r} 2 x_{1} + x_{2} = 1, (1) \\ x_{1} + x_{2} = 1, (2) \end{array}$ 首先交换(1)式和(2)式得 $(Ⅱ) {\begin{array}{r} x_{1} + x_{2} = 1, (3) \\ 2 x_{1} + x_{2} = 1, (4) \end{array}$ 其次将第(4)式减去第(3)式的2倍得 $(Ⅲ) {\begin{array}{r} x_{1} + x_{2} = 1, (5) \\ - x_{2} = - 1, (6) \end{array}$ 最后将(6)式加到(5)式，再在(6)式两边乘以-1，得 $(Ⅳ) {\begin{array}{r} x_{1} = 0, \\ x_{2} = 1. \end{array}$ 这就是经典的高斯消元法的过程。由于方程组(Ⅰ)对应一个矩阵 $A = (\begin{array}{l} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array})$ 这里A的第一行对应第(1)式，A的第二行对应第(2)式。

用 $r_{i} \leftrightarrow r_{j}$ 表示交换第i行和第j行； $k r_{i}$ 表示第i行乘以非零的数k； $r_{i} + k r_{j}$ 表示将第j行的每个元素的k倍加到第i行对应的元素上。

于是，上述消元法求解过程可用矩阵表示。 $\begin{aligned} A = (\begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}) \overset{r_{1} \leftrightarrow r_{2}}{\to} (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{matrix}) \overset{r_{2} - 2 r_{1}}{\to} (\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & - 1 & - 1 \end{array}) \\ \overset{r_{1} + r_{2}}{\to} (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 \end{matrix}) \overset{(- 1) \cdot r_{2}}{\to} (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}) = B \end{aligned}$ 其中B为行最简形矩阵，它对应于方程组(IV)。

行最简形矩阵要满足的条件：
（1）所有非零行的第一个非零元素必须为1。
（2）所有非零行的第一个非零元素所在列的其它元素必须为0。

定义 1.6 矩阵的下面三种变换统称为矩阵的初等行变换(初等列变换)。
（1）对换变换 交换矩阵的第i行(列)与第j行(列)，记作 $r_{i} \leftrightarrow r_{j} (c_{i} \leftrightarrow c_{j})$ ；
（2）倍乘变换 用不为零的数k去乘以矩阵的第i行(列)，记作 $k r_{i} (k c_{i})$ ；
（3）倍加变换 把矩阵的第j行(列)乘以数k加到第i行(列)，记作 $r_{i} + k r_{j} (c_{i} + k c_{j})$ 。
初等行变换和初等列变换统称为初等变换。

注 1.5 从下面的变换过程容易看出上述三种初等变换都是可逆的。 $\begin{aligned} (1) A \overset{r_{i} \leftrightarrow r_{j}}{\to} B \overset{r_{i} \leftrightarrow r_{j}}{\to} A . A \overset{c_{i} \leftrightarrow c_{j}}{\to} B \overset{c_{i} \leftrightarrow c_{j}}{\to} A . \\ (2) A \overset{k r_{i}}{\to} B \overset{\frac{1}{k} r_{i}}{\to} A . A \overset{k c_{i}}{\to} B \overset{\frac{1}{k} c_{i}}{\to} A . \\ (3) A \overset{r_{i} + k r_{j}}{\to} B \overset{r_{i} - k r_{j}}{\to} A . A \overset{c_{i} + k c_{j}}{\to} B \overset{c_{i} - k c_{j}}{\to} A . \end{aligned}$

定义 1.7 如果矩阵A可以经过有限次初等变换化为矩阵B，就称矩阵A与矩阵B等价，记作 $A ≅ B$ .

矩阵之间的等价有下面的性质。
（1）反身性： $A ≅ A$
（2）对称性：若 $A ≅ B$ ，则 $B ≅ A$
（3）传递性：若 $A ≅ B ， B ≅ C$ ，则 $A ≅ C$
数学中把具有上述三条性质的关系叫做等价关系。

若矩阵 $A_{m \times n}$ 与分块矩阵 $\begin{array}{r} E_{m \times n}^{(r)} = (\begin{array}{l} E_{r \times r} & O_{r \times (n - r)} \\ O_{(m - r) \times r} & O_{(m - r) \times (n - r)} \end{array}) \end{array}$ 等价，则称 $E_{m \times n}^{(r)}$ 为 $A_{m \times n}$ 的等价标准形。注意，当r=0时， $E_{m \times n}^{(0)}$ 就是零矩阵 $O_{m \times n}$ 。

例 1.8 用初等行变换将矩阵 $\begin{array}{r} A = (\begin{array}{l} 1 & 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 2 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 5 & 7 \end{array}) \end{array}$ 化为行最简形，再利用列变换化为等价标准形。

解对A作初等行变换得 $\begin{aligned} A \overset{\begin{matrix} r_{2} + r_{1} \\ r_{3} - r_{1} \end{matrix}}{\to} (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 3 & 4 & 5 \end{matrix}) \overset{r 3 - r 2}{\to} (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) \\ \overset{\frac{1}{3} r_{2}}{\to} (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & \frac{4}{3} & \frac{5}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) \overset{r_{1} - r_{2}}{\to} (\begin{matrix} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{4}{3} & \frac{5}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) = B \end{aligned}$ 这里B为行最简形矩阵。再对B作初等列变换得 $B \overset{\begin{array}{l} c_{3} + \frac{1}{3} c_{1} \\ c_{4} - \frac{1}{3} c_{1} \end{array}}{\to} (\begin{array}{l} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{3} & \frac{5}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \overset{\begin{array}{l} c_{3} - \frac{4}{3} c_{2} \\ c_{4} - \frac{5}{3} c_{2} \end{array}}{\to} (\begin{array}{l} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) = E_{3 \times 4}^{(2)}$