矩阵的秩

作者：追风剑情发布于：2024-2-4 14:28 分类：Algorithms

我们知道任何一个矩阵A_m×n都可以经过初等变换化为等价标准形$E^{(r)}_{m×n}$。那么经过不同的初等变换过程得到的最终结果是否相同呢?本节我们将会看到矩阵A_m×n的等价标准形$E^{(r)}_{m×n}$。由A_m×n唯一确定。也就是说,经过不同的初等变换过程,最终得到的结果是一样的,其中的r反映了矩阵A_m×n的一个特征属性——秩.

基本概念

定义1 设 A 为 m×n 矩阵，在矩阵 A 中任取 k 行 k 列 (k≤min(m,n))，位于这些行列相交处的元素按原来的顺序所组成的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式。若 A 不是零矩阵，则称 A 中所有不为零的子式的最高阶数为矩阵 A 的秩，记作 r(A)。零矩阵的秩规定为零，即 r(O)=0。

由上述定义可以看出，矩阵 $A_{m×n}$ 一共有 $C^k_m C^k_n$ 个 k 阶子式，而且 $$ \begin{aligned} 0≤r(\mathbf{A}_{m×n})≤min(m,n) \end{aligned} $$

特别地，当 A 为 n 阶矩阵时，n-1 阶子式就有 n² 个，恰好是所有 a_ij 的余子式 M_ij。n 阶子式只有一个，即为 |A|。此时，行列式 |A|≠0 的充分必要条件是 r(A)=n。

定义2 设 A为 n 阶矩阵。若 |A|≠0，则称 A 为 非奇异方阵；若 r(A)=n，则称 A 为满秩方阵。

可见，对于方阵而且，可逆、非奇异、满秩是等价的概念。于是，我们可以用矩阵的秩来判断一个方阵是否可逆。

例 1 求下来矩阵的秩：

$$ \mathbf{A}= \left[ \begin{array}{l} 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ \end{array} \right] ,\quad \mathbf{B}= \left[ \begin{array}{l} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 2 & 4 & 1 & 0 \\ 3 & 6 & 0 & 9 \end{array} \right] ,\quad \mathbf{C}= \left[ \begin{array}{l} 1 & 6 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] $$

解对于矩阵 A，因为 |A|=0，且有 1 阶非零子式，所以 r(A)=1。
矩阵 B 的 4 个 3 阶子式分别为 $$ \left| \begin{array}{l} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \\ 3 & 6 & 0 \end{array} \right| =0,\quad \left| \begin{array}{l} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 0 \\ 3 & 6 & 9 \end{array} \right| =0,\quad \left| \begin{array}{l} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 9 \end{array} \right| =0,\quad \left| \begin{array}{l} 2 & 0 & 3 \\ 4 & 1 & 0 \\ 6 & 0 & 9 \end{array} \right| =0, $$ 但有 2 阶子式 $ \left| \begin{array}{l} 0 & 3 \\ 1 & 0 \end{array} \right| ≠0 $ ，所以 r(B)=2。

对于行阶梯形矩阵 C，显然有 4 阶子式都为零，但有 3 阶子式 $$ \left| \begin{array}{l} 1 & 6 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 5 \end{array} \right| ≠0 $$ 因此 r(C)=3。

由此可见，对于一般矩阵，利用定义1求秩是不方便的。然而，对于行阶梯形矩阵，其秩就等于它的非零行数，所以下面就把一般矩阵的求秩问题转化为行阶梯形矩阵的求秩问题。

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