三角级数

作者：追风剑情发布于：2024-1-30 16:17 分类：Algorithms

1.三角级数

在自然界常常遇到周期现象。自变量为t，周期为T的周期函数可以表示为 $\begin{array}{r} f (t + T) = f (t) \end{array}$ 例如，交流电压V随时间变化的关系为 $\begin{array}{r} (1.1.1) & V (t) = V_{0} \sin (ω t + φ) \end{array}$ 这是自变量为t，周期为 $\frac{2 π}{ω}$ 的周期函数。关系式(1.1.1)描述的周期现象也称为调和振动。若干个调和振动的叠加，即 $\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n} A_{k} \sin (k t + φ_{k}) \\ = \sum_{k = 0}^{n} A_{k} (\sin k t \cos φ_{k} + \cos k t \sin φ_{k}) \\ (1.1.2) & = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{k = 1}^{n} (a_{k} \cos k t + b_{k} \sin k t) \end{aligned}$ 这里 ${\begin{aligned} a_{0} = 2 A_{0} \sin φ_{0} \\ a_{k} = A_{k} \sin φ_{k} \\ b_{k} = A_{k} \cos φ_{k} k = 1, 2, \dots, n \end{aligned}$ (1.1.2)称为n阶三角多项式，称 $A_{k} \sin (k t + φ_{k})$ 为k阶调和数。称 $\begin{array}{r} (1.1.3) & \frac{a_{0}}{2} + \sum_{k = 1}^{\infty} (a_{k} \cos k x + b_{k} \sin k x) \end{array}$ 为三角级数或称为傅里叶(Fourier)级数。

对于一个以T为周期的函数f(x)是否存在一个三角级数它在所讨论的范围内收敛且收敛于函数f(x)？即我们要研究f(x)的三角级数展开问题和它的三角级数的收敛问题。对于相当广泛的一类函数，我们可以给出肯定的答案。

三角级数有一个重要的性质，就是它可以用于近似表示任何一个周期函数。其中 $a_{0} 、 a_{k} 、 b_{k}$ 是三角级数的系数，它们的具体计算方法需要根据具体的函数来确定。

将三角级数用于周期函数的近似表示的好处在于，可以将任意周期函数表示为一组简单的三角函数的线性组合。因此，对于周期函数的计算和分析，使用三角级数能够更加方便和高效，也更容易理解和可视化。

然而，三角级数并不是一种万能的工具。它只适用于周期函数，并且要求该函数在其周期内是光滑的，即有连续的导数。如果函数不能满足这些要求，那么使用三角级数进行近似表示可能会出现误差问题。

三角级数和傅里叶级数都是无穷级数的一种形式。三角级数适用于光滑的周期函数的近似表示，而傅里叶级数则适用于任意周期函数的函数展开式计算。两者的应用和作用有所不同，但都有广泛的应用和重要的意义。

2.三角级数的正交性

设C为任意实数，[C, C+2π]是长度为2π的区间。显然三角函数coskx，sinkx，k为正整数，皆为周期为2π的周期函数。由计算易得 $\begin{aligned} \int_{C}^{C + 2 π} \cos k x \cos l x d x = {\begin{aligned} 2 π k = l = 0 \\ π k = l \neq 0 \\ 0 k \neq l \end{aligned} \\ \int_{C}^{C + 2 π} \cos k x \sin l x d x = 0 \\ \int_{C}^{C + 2 π} \sin k x \sin l x d x = {\begin{aligned} 0 k = l = 0 \\ π k = l \neq 0 \\ 0 k \neq l \end{aligned} \\ (1.1.4) & k, l = 0, 1, \dots \end{aligned}$ 由此三角函数系 $\begin{array}{r} {1, \cos x, \sin x, \cos 2 x, \sin 2 x, \dots, \cos k x, \sin k x, \dots} \end{array}$ 中每个函数在长度为2π的区间上有定义。任意两个不同函数的乘积在[C,C+2π]上的积分等于0。我们称这个函数系在长为2π区间上具有正交性。此后为确定起见,长度为2π的区间常取为[-π,π]或[0,2π]。