三角级数

作者：追风剑情发布于：2024-1-30 16:17 分类：Algorithms

1.三角级数

在自然界常常遇到周期现象。自变量为t，周期为T的周期函数可以表示为 $$ \begin{flalign} f(t+T)=f(t) \end{flalign} $$ 例如，交流电压V随时间变化的关系为 $$ \begin{flalign} V(t)=V_0\sin(ωt+\varphi) \tag{1.1.1} \end{flalign} $$ 这是自变量为t，周期为$\frac{2\pi}{ω}$的周期函数。关系式(1.1.1)描述的周期现象也称为调和振动。若干个调和振动的叠加，即 $$ \begin{flalign} &\sum_{k=0}^{n}A_k\sin(kt+\varphi_k) \\ &\quad=\sum_{k=0}^{n}A_k(\sin{kt}\cos\varphi_k+\cos{kt}\sin\varphi_k) \\ &\quad=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{n}(a_k\cos{kt}+b_k\sin{kt}) \tag{1.1.2} \end{flalign} $$ 这里 $$ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} &a_0=2A_0\sin\varphi_0 \\ &a_k=A_k\sin\varphi_k \\ &b_k=A_k\cos\varphi_k \quad k=1,2,\cdots,n \end{aligned} \right. \end{equation} $$ (1.1.2)称为n阶三角多项式，称$A_k\sin(kt+\varphi_k)$为k阶调和数。称 $$ \begin{flalign} \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{∞}(a_k\cos{kx}+b_k\sin{kx}) \tag{1.1.3} \end{flalign} $$ 为三角级数或称为傅里叶(Fourier)级数。

对于一个以T为周期的函数f(x)是否存在一个三角级数它在所讨论的范围内收敛且收敛于函数f(x)？即我们要研究f(x)的三角级数展开问题和它的三角级数的收敛问题。对于相当广泛的一类函数，我们可以给出肯定的答案。

三角级数有一个重要的性质，就是它可以用于近似表示任何一个周期函数。其中$a_0、a_k、b_k$是三角级数的系数，它们的具体计算方法需要根据具体的函数来确定。

将三角级数用于周期函数的近似表示的好处在于，可以将任意周期函数表示为一组简单的三角函数的线性组合。因此，对于周期函数的计算和分析，使用三角级数能够更加方便和高效，也更容易理解和可视化。

然而，三角级数并不是一种万能的工具。它只适用于周期函数，并且要求该函数在其周期内是光滑的，即有连续的导数。如果函数不能满足这些要求，那么使用三角级数进行近似表示可能会出现误差问题。

三角级数和傅里叶级数都是无穷级数的一种形式。三角级数适用于光滑的周期函数的近似表示，而傅里叶级数则适用于任意周期函数的函数展开式计算。两者的应用和作用有所不同，但都有广泛的应用和重要的意义。

2.三角级数的正交性

设C为任意实数，[C, C+2π]是长度为2π的区间。显然三角函数coskx，sinkx，k为正整数，皆为周期为2π的周期函数。由计算易得 $$ \begin{flalign} &\int_{C}^{C+2\pi} \cos{kx}\cos{lx}dx= \left\{ \begin{aligned} &2\pi \quad k=l=0 \\ &\pi \quad \;\; k=l≠0 \\ &0 \quad \;\; k≠l \end{aligned} \right. \\ &\int_{C}^{C+2\pi} \cos{kx}\sin{lx}dx=0 \\ &\int_{C}^{C+2\pi} \sin{kx}\sin{lx}dx= \left\{ \begin{aligned} &0 \quad k=l=0 \\ &\pi \quad k=l≠0 \\ &0 \quad k≠l \end{aligned} \right. \\ &k,l=0,1,\cdots \tag{1.1.4} \end{flalign} $$ 由此三角函数系 $$ \begin{flalign} \{1,\cos{x},\sin{x},\cos{2x},\sin{2x},\cdots,\cos{kx},\sin{kx},\cdots\} \end{flalign} $$ 中每个函数在长度为2π的区间上有定义。任意两个不同函数的乘积在[C,C+2π]上的积分等于0。我们称这个函数系在长为2π区间上具有正交性。此后为确定起见,长度为2π的区间常取为[-π,π]或[0,2π]。

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