计算点到线段的距离

作者：追风剑情发布于：2022-8-15 10:17 分类：Algorithms

点P在向量AB上的投影为点Q，如果Q落在向量AB上，则PQ的长度即为点P到线段AB的距离。如果点Q落在向量AB之外，则点P到线段最近端的距离则为点P到线段AB的距离。

$\vec{A P} \cdot \vec{A B} = | \vec{A P} | | \vec{A B} | c o s θ = | \vec{A P} | | \vec{A B} | \frac{| \vec{A Q} |}{| \vec{A P} |} = | \vec{A Q} | | \vec{A B} |$
$| \vec{A Q} | = \frac{\vec{A P} \cdot \vec{A B}}{| \vec{A B} |}$
$\vec{A Q} = | \vec{A Q} | \frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |}$
$\vec{P Q} = \vec{A Q} - \vec{A P}$

(1) 当点Q落在向量AB上时

$| \vec{P Q} |$ 即为点P到线段AB的距离。

(2) 当点Q落在线段AB的延长线上时

如果 $| \vec{A Q} | > | \vec{A B} |$ ，则说明点Q落在AB的延长线上。点P到线段AB的距离为 $| \vec{P B} |$
如果 $| \vec{A Q} | < 0 (即 \vec{A P} 与 \vec{A B} 的夹角为钝角)$ ，则说明点Q落在BA的延长线上。点P到线段AB的距离为 $| \vec{P A} |$

也可以通过向量点乘判断
如果 $\vec{A B} \cdot \vec{A P} < 0$ ，则点Q落在BA的延长线上。
如果 $\vec{A B} \cdot \vec{A P} = 0$ ，则点Q与点A重合。
如果 $\vec{B A} \cdot \vec{B P} < 0$ ，则点Q落在AB的延长线上。
如果 $\vec{B A} \cdot \vec{B P} = 0$ ，则点Q与点B重合