四元数(Quaternion)

作者：追风剑情发布于：2021-7-23 16:13 分类：Algorithms

一、四元数记法

一个四元数包含一个标量分量和一个3D向量分量。经常记标量分量为w，记向量分量为单一的v或分开的x, y, z。两种记法分别如下：

[w, v]
[w, (x, y, z)]

在某些情况下，用v这样的短记法更方便，但另一些情况下，“扩展”的记法会更清楚。

也可以将四元数竖着写，有时这会使等式的格式一目了然。“行”或“列”四元数没有明显的区别。

二、四元数与复数

复数对(a, b)定义了数a+bi，i是所谓的虚数，满足i²=-1，a称作实部，b称作虚部。任意实数k都能表示为复数(k, 0)=k+0i。

复数能够相加、相减、相乘：

三、共轭复数

通过使虚部变负，还能够计算复数的共轭。记法如下：

p=(a+bi)

p*=(a-bi)

四、求复数的模

还能够计算复数的模。这个运算的记法和解释与实数的绝对值类似。实际上，如果将实数表示成复数，它们将产生相同的结果。公式如下：

复数集存在于一个2D平面上，可以认为这个平面有两个轴：实轴和虚轴。这样，就能将复数(x, y)解释为2D向量。用这种方法解释复数时，它们能用来表达平面中的旋转(虽然这走了一个弯路)。看看复数p绕原点旋转角度θ的情况。

在平面中旋转复数

为了进行这个旋转，引入第二个复数q=(cosθ, sinθ)。现在，旋转后的复数p'能用复数乘法计算出来：

p = x + yi
q = cosθ + isinθ
p' = pq
=(x+yi)(cosθ+isinθ)
=(xcosθ-ysinθ)+(xsinθ+ycosθ)i

当然，从上式来看，引入复数q和用2×2旋转矩阵达到的效果是一样的，但复数提供了另一种有趣的记法。后面，我们将以同样的方法在3D中使用四元数。

2 × 2 顺时针旋转矩阵 $\begin{aligned} [\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = (x \cos θ - y \sin θ) + (x \sin θ + y \cos θ) \end{aligned}$

小故事
爱尔兰数学家 William Hamilton 多年来一直致力于寻找一种方法将复数从2D扩展到3D。他认为，这种新的复数应该有一个实部和两个虚部。然而，Hamilton 一直没有办法创造出一种有两个虚部的有意义的复数。但故事并没有结束，1843年，在赴皇家爱尔兰学院演讲路上，他突然意识到应该有三个虚部而不是两个。他把定义这种新复数类型性质的等式刻在 Broome 桥上(这些等式如下所示)。这样，四元数就诞生了。

四元数扩展了复数系统，它使用三个虚部 i，j，k。它们之间的关系如下： $\begin{aligned} i^{2} = j^{2} = k^{2} = - 1 (根据定义) \\ i j = k, j i = - k (叉乘) \\ j k = i, k j = - i (叉乘) \\ k i = j, i k = - j (叉乘) \end{aligned}$

一个四元数 [w, (x, y, z)] 定义了复数 w+xi+yj+zk。我们马上将会看到，很多标准复数的性质都能应用到四元数上。更重要的是，和复数能用来旋转2D中的向量类似，四元数也能用来旋转3D中的向量。

五、四元数和轴-角对

欧拉证明了一个旋转序列等价于单个旋转。因此，3D中的任意角位移都能表示为绕单一轴的单一旋转（这里的轴是一般意义上的轴，不要和笛卡尔坐标轴混淆。显然，旋转轴的方向是任意的）。当一个方位用这种形式来描述时称作轴-角描述法（实际上，能将轴-角形式作为描述方位的第四种表达方式。但是，轴-角对很少用到，经常被欧拉角或四元数替代）。

设 n 为旋转轴。对于旋转轴来说长度并不重要，将 n 定义为单位长度会比较方便。根据左手或右手法则，n 的方向定义了哪边将被认为是旋转“正”方向。设 θ 为绕轴旋转的量。因此，轴-角对 (n, θ) 定义了一个角位移：绕 n 指定的轴旋转 θ 角。

四元数能被解释为角位移的轴-角对方式。然而，n 和 θ 不是直接存储在四元数的四个数中——那样太简单了！它们的确在四元素里，但不是那么直接。下列公式给出了四元数中的数和 n，θ 的关系，两种四元数记法都被使用了。

$\begin{aligned} q & = [c o s (θ / 2) s i n (θ / 2) n] \\ = [c o s (θ / 2) s i n (θ / 2) n_{x} s i n (θ / 2) n_{y} s i n (θ / 2) n_{z}] \end{aligned}$

六、负四元数

四元数能求负。做法很直接：将每个分量都变负。

$\begin{aligned} - q & = - [w (x y z)] = [- w (- x - y - z)] \\ = - [w v] = [- w - v] \end{aligned}$

从上面的公式可以看出，当q取负值时，旋转角和旋转轴都反向了，所以q和-q代表的实际角位移是相同的。

cos(θ/2)与sin(θ/2)，当θ增加 $360^{\circ}$ 的奇数倍时，分量的符号将取反。当θ增加 $360^{\circ}$ 的偶数倍时，符号不变。

q和-q代表的实际角位移是相同的。如果我们将θ加上 $360^{\circ}$ 的倍数，不会改变q代表的角位移，但它使q的四个分量都变负了。因此，3D中的任意角位移都有两种不同的四元数表示方法，它们互相为负。

七、单位四元数

几何上，存在两个“单位”四元数，它们代表没有角位移：[1, 0]和[-1, 0]（注意粗体0，它们代表零向量）。当θ是 $360^{\circ}$ 的偶数倍时，有第一种形式，cos(θ/2)=1；θ是 $360^{\circ}$ 的奇数倍时，有第二种形式，cos(θ/2)=-1。在两种情况下，都有sin(θ/2)=0，所以n的值无关紧要。它的意义在于：

当旋转角θ是 $360^{\circ}$ 的整数倍时，方位并没有改变，并且旋转轴也是无关紧要的。

数学上，实际只有一个单位四元数：[1, 0]。用任意四元数q乘以单位四元数[1, 0]，结果仍是q。任意四元数q乘以另一个“几何单位”四元数[-1, 0]时得到-q。几何上，因为q和-q代表的角位移相同，可认为结果是相同的。但在数学上，q和-q不相等，所以[-1, 0]并不是“真正”的单位四元数。

八、四元数的模

和复数一样，四元数也有模。记法和公式都与向量的类似，如公式所示。 $\begin{aligned} | q | & = | [w (x y z)] | = \sqrt{w^{2} + x^{2} + y^{2} + z^{2}} \\ = | [w v] | = \sqrt{w^{2} + | v |^{2}} \end{aligned}$

让我们看看它的几何意义。代入 $θ$ 和n，可得到： $\begin{aligned} | q | & = | [w v] | \\ = \sqrt{w^{2} + | v |^{2}} \\ = \sqrt{c o s^{2} (θ / 2) + (s i n (θ / 2) | n |)^{2}} \end{aligned}$ n为单位向量，所以： $\begin{aligned} | q | & = \sqrt{c o s^{2} (θ / 2) + s i n^{2} (θ / 2) | n |^{2}} \\ = \sqrt{c o s^{2} (θ / 2) + s i n^{2} (θ / 2) (1)} \\ = \sqrt{c o s^{2} (θ / 2) + s i n^{2} (θ / 2)} \end{aligned}$ 应用三角公式 $s i n^{2} x + c o n^{2} x = 1$ ，得到： $\begin{aligned} | q | & = \sqrt{c o s^{2} (θ / 2) + s i n^{2} (θ / 2)} = \sqrt{1} = 1 \end{aligned}$ 如果为了用四元数来表示方位，我们仅使用符合这个规则的单位四元数。

九、四元数的共轭

四元数的共轭记作q^*，可通过让四元数的向量部分变负来获得。 $\begin{aligned} q^{*} & = {[\begin{matrix} w & v \end{matrix}]}^{*} = [\begin{matrix} w & - v \end{matrix}] \\ = {[\begin{matrix} w & (x & y & z) \end{matrix}]}^{*} = [\begin{matrix} w & (- x & - y & - z) \end{matrix}] \end{aligned}$

共轭非常有趣，因为q和q^*代表相反的角位移。很容易验证这种说法，使v变负，也就是使旋转轴反向，它颠倒了我们所认为的旋转正方向。因此，q绕轴旋转θ角，而q^*沿相反的方向旋转相同的角度。

针对我们的目的而言，四元数的共轭可以有另一种定义：w变负，v不变。这使旋转角度变负，而不是通过翻转旋转轴来颠倒正方向。这和公式给出的定义等价（至少对于我们的目的是这样的），并提供了一种稍微快一点的实现和更为直观的几何解释。但对于复数，术语“共轭”有其特殊含义，因此我们保持原定义不变。

十、四元数的逆

四元数的逆记作q^-1，定义为四元数的共轭除以它的模。 $\begin{aligned} q^{- 1} = \frac{q^{*}}{| q |} \end{aligned}$ 上面的公式为四元数逆的正式定义，但我们只使用单位四元数，所以四元数的逆和共轭是相等的。

四元数的逆和实数的倒数有着有趣的对应关系。对于实数a，它的逆a^-1为1/a，从另一方面说，a(a^-1)=a^-1a=1。四元数的逆也有同样的性质。一个四元数q乘以它的逆q^-1，即可得到单位四元数[1, 0]。

十一、四元数乘法(叉乘)

四元数根据复数解释来相乘，如下： $\begin{aligned} (w_{1} + x_{1} i + y_{1} j + z_{1} k) (w_{2} + x_{2} i + y_{2} j + z_{2} k) \\ = w_{1} w_{2} + w_{1} x_{2} i + w_{1} y_{2} j + w_{1} z_{2} k \\ + x_{1} w_{2} i + x_{1} x_{2} i^{2} + x_{1} y_{2} i j + x_{1} z_{2} i k \\ + y_{1} w_{2} j + y_{1} x_{2} j i + y_{1} y_{2} j^{2} + y_{1} z_{2} j k \\ + z_{1} w_{2} k + z_{1} x_{2} k i + z_{1} y_{2} k j + z_{1} z_{2} k^{2} \\ = w_{1} w_{2} + w_{1} x_{2} i + w_{1} y_{2} j + w_{1} z_{2} k \\ + x_{1} w_{2} i + x_{1} x_{2} (- 1) + x_{1} y_{2} i j + x_{1} z_{2} i k \\ + y_{1} w_{2} j + y_{1} x_{2} j i + y_{1} y_{2} (- 1) + y_{1} z_{2} j k \\ + z_{1} w_{2} k + z_{1} x_{2} k i + z_{1} y_{2} k j + z_{1} z_{2} (- 1) \\ = w_{1} w_{2} - x_{1} x_{2} - y_{1} y_{2} - z_{1} z_{2} \\ + (w_{1} x_{2} + x_{1} w_{2} + y_{1} z_{2} - z_{1} y_{2}) i \\ + (w_{1} y_{2} + y_{1} w_{2} + z_{1} x_{2} - x_{1} z_{2}) j \\ + (w_{1} z_{2} + z_{1} w_{2} + x_{1} y_{2} - y_{1} x_{2}) k \\ = [\begin{matrix} w_{1} w_{2} - v_{1} \cdot v_{2} & w_{1} v_{2} + w_{2} v_{1} + v_{1} \times v_{2} \end{matrix}] \end{aligned}$ 这导出了四元数乘法的标准定义，下面以两种四元数记法给出。 $\begin{aligned} [\begin{matrix} w_{1} & (x_{1} & y_{1} & z_{1}) \end{matrix}] [\begin{matrix} w_{2} & (x_{2} & y_{2} & z_{2}) \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} w_{1} w_{2} - x_{1} x_{2} - y_{1} y_{2} - z_{1} z_{2} \\ (\begin{matrix} w_{1} x_{2} + x_{1} w_{2} + z_{1} y_{2} - y_{1} z_{2} \\ w_{1} y_{2} + y_{1} w_{2} + x_{1} z_{2} - z_{1} x_{2} \\ w_{1} z_{2} + z_{1} w_{2} + y_{1} x_{2} - x_{1} y_{2} \end{matrix}) \end{matrix}] \end{aligned}$ $\begin{aligned} [\begin{matrix} w_{1} & v_{1} \end{matrix}] [\begin{matrix} w_{2} & v_{2} \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} w_{1} w_{2} - v_{1} \cdot v_{2} & w_{1} v_{2} + w_{2} v_{1} + v_{2} \times v_{1} \end{matrix}] \end{aligned}$

不用为四元数叉乘使用乘号，“行”或“列”四元数也没有什么区别。

四元数叉乘满足结合律，但不满足交换律。 $\begin{aligned} (ab) c = a (bc) \\ ab \neq ba \end{aligned}$

现在看看两个四元数叉乘的模： $\begin{aligned} | q_{1} q_{2} | = | [\begin{matrix} w_{1} & (x_{1} & y_{1} & z_{1}) \end{matrix}] [\begin{matrix} w_{2} & (x_{2} & y_{2} & z_{2}) \end{matrix}] | \\ = | [\begin{matrix} w_{1} w_{2} - x_{1} x_{2} - y_{1} y_{2} - z_{1} z_{2} \\ (\begin{matrix} w_{1} x_{2} + x_{1} w_{2} + z_{1} y_{2} - y_{1} z_{2} \\ w_{1} y_{2} + y_{1} w_{2} + x_{1} z_{2} - z_{1} x_{2} \\ w_{1} z_{2} + z_{1} w_{2} + y_{1} x_{2} - x_{1} y_{2} \end{matrix}) \end{matrix}] | \\ = \sqrt{\begin{matrix} (w_{1} w_{2} - x_{1} x_{2} - y_{1} y_{2} - z_{1} z_{2})^{2} \\ + (w_{1} x_{2} + x_{1} w_{2} + z_{1} y_{2} - y_{1} z_{2})^{2} \\ + (w_{1} y_{2} + y_{1} w_{2} + x_{1} z_{2} - z_{1} x_{2})^{2} \\ + (w_{1} z_{2} + z_{1} w_{2} + y_{1} x_{2} - x_{1} y_{2})^{2} \end{matrix}} \end{aligned}$ 展开并合同类项（因为这个步骤很冗长所以我们就把它省略了）得到公式： $\begin{aligned} | q_{1} q_{2} | & = \sqrt{\begin{matrix} w_{1}^{2} w_{2}^{2} + x_{1}^{2} x_{2}^{2} + y_{1}^{2} y_{2}^{2} + z_{1}^{2} z_{2}^{2} \\ + w_{1}^{2} x_{2}^{2} + x_{1}^{2} w_{2}^{2} + z_{1}^{2} y_{2}^{2} + y_{1}^{2} z_{2}^{2} \\ + w_{1}^{2} y_{2}^{2} + y_{1}^{2} w_{2}^{2} + x_{1}^{2} z_{2}^{2} + z_{1}^{2} x_{2}^{2} \\ + w_{1}^{2} z_{2}^{2} + z_{1}^{2} w_{2}^{2} + y_{1}^{2} x_{2}^{2} + x_{1}^{2} y_{2}^{2} \end{matrix}} \\ = \sqrt{\begin{matrix} w_{1}^{2} (w_{2}^{2} + x_{2}^{2} + y_{2}^{2} + z_{2}^{2}) \\ + x_{1}^{2} (w_{2}^{2} + x_{2}^{2} + y_{2}^{2} + z_{2}^{2}) \\ + y_{1}^{2} (w_{2}^{2} + x_{2}^{2} + y_{2}^{2} + z_{2}^{2}) \\ + z_{1}^{2} (w_{2}^{2} + x_{2}^{2} + y_{2}^{2} + z_{2}^{2}) \end{matrix}} \\ = \sqrt{(w_{1}^{2} + x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + z_{1}^{2}) (w_{2}^{2} + x_{2}^{2} + y_{2}^{2} + z_{2}^{2})} \end{aligned}$ 最后，应用四元数模的定义得到公式： $\begin{aligned} | q_{1} q_{2} | & = \sqrt{(w_{1}^{2} + x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + z_{1}^{2}) (w_{2}^{2} + x_{2}^{2} + y_{2}^{2} + z_{2}^{2})} \\ = \sqrt{| q_{1} |^{2} | q_{2} |^{2}} \\ = | q_{1} | | q_{2} | \end{aligned}$ 四元数乘积的模等于模的乘积。

因此，四元数乘积的模等于模的乘积。这个结论非常重要，因为它保证了两个单位四元数相乘的结果还是单位四元数。

四元数乘积的逆等于各个四元数的逆以相反的顺序相乘。 $\begin{aligned} (ab)^{- 1} = b^{- 1} a^{- 1} \\ (q_{1} q_{2} \dots q_{n - 1} q_{n})^{- 1} = q_{n}^{- 1} q_{n - 1}^{- 1} \dots q_{2}^{- 1} q_{1}^{- 1} \end{aligned}$

现在到了四元数非常有用的性质。让我们“扩展”一个标准3D点(x, y, z)到四元数空间，通过定义四元数p=[0, (x, y, z)]即可（当然，在一般情况下，p不会是单位四元数）。设q为我们讨论的旋转四元数形式[cos(θ/2), nsin(θ/2)]，n为旋转轴，单位向量；θ为旋转角。您会惊奇地发现，执行下面的乘法可以使3D点p绕n旋转： $\begin{aligned} p^{'} = q p q^{- 1} \end{aligned}$ 四元数p'中的(x,y,z)分量即为旋转后的3D向量。

我们可以证明这个等式，通过展开乘法，代入n和θ，然后和旋转矩阵公式比较。事实上，很多书正是从这里开始推导四元数向矩阵形式转换的公式。

四元数乘法的优势就在于能连接多次旋转，这和矩阵乘法的效果一样。

让我们来看看多次旋转的情况。将点p用一个四元数a旋转然后再用另一个四元数b旋转： $\begin{aligned} p^{'} & = b (a p a^{- 1}) b^{- 1} \\ = (b a) p (a^{- 1} b^{- 1}) \\ = (b a) p (b a)^{- 1} \end{aligned}$

注意，先进行a旋转再进行b旋转等价于执行乘积ba代表的单一旋转。因此，四元数乘法能用来连接多次旋转，这和矩阵乘法的效果一样。根据四元数乘法的标准定义，这个旋转是以从右向左的顺序发生的。这非常不幸，因为它迫使我们以“由里向外”的顺序连接多次旋转，这和以矩阵形式作同样的运算是不同的（至少在使用行向量时是不同的）。

针对公式所导致的“顺序颠倒”问题，我们将违背标准定义，以相反的运算顺序来定义四元数乘法。注意，仅仅向量叉乘部分受到了影响。 $\begin{aligned} [\begin{matrix} w_{1} & (x_{1} & y_{1} & z_{1}) \end{matrix}] [\begin{matrix} w_{2} & (x_{2} & y_{2} & z_{2}) \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} w_{1} w_{2} - x_{1} x_{2} - y_{1} y_{2} - z_{1} z_{2} \\ (\begin{matrix} w_{1} x_{2} + x_{1} w_{2} + y_{1} z_{2} - z_{1} y_{2} \\ w_{1} y_{2} + y_{1} w_{2} + z_{1} x_{2} - x_{1} z_{2} \\ w_{1} z_{2} + z_{1} w_{2} + x_{1} y_{2} - y_{1} x_{2} \end{matrix}) \end{matrix}] \end{aligned}$ $\begin{aligned} [\begin{matrix} w_{1} & v_{1} \end{matrix}] [\begin{matrix} w_{2} & v_{2} \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} w_{1} w_{2} - v_{1} \cdot v_{2} & w_{1} v_{2} + w_{2} v_{1} + v_{1} \cdot v_{2} \end{matrix}] \end{aligned}$

这并没有改变四元数的基本性质和用v、θ的几何解释，仍然能用四元数乘法来直接旋转向量，惟一不同的是，根据我们的定义，将四元数放在向量右边，而把它的逆放在向量的左边： $\begin{aligned} p^{'} = q^{- 1} p q \end{aligned}$ 能看到下面这个表达了多个旋转连接的等式，它是自左向右的，与旋转发生的顺序一致： $\begin{aligned} p^{'} = b^{- 1} (a^{- 1} p a) b \\ = (b^{- 1} a^{- 1}) p (a b) \\ = (a b)^{- 1} p (a b) \end{aligned}$ 利用修改后的四元数乘法定义更方便用程序实现四元数类。

十二、四元数“差”

利用四元数的乘法和逆，就能够计算两个四元数的“差”。“差”被定义为一个方位到另一个方位的角位移。换句话说，给定方位a和b，能够计算从a到旋转到b的角位移d。用四元数等式更加紧凑地表示为： $\begin{aligned} a d = b \end{aligned}$

(这里使用我们的更加直观的四元数乘法定义，旋转的顺序对应于从左向右乘法的顺序。)现在来求d。如果等式中的变量为标量，那么就可以简单的除以a。但是，不能除以四元数，只能乘它们。也许乘以它的逆能达到想要的效果！两边同时左乘a^-1（必须注意，四元数乘法不满足交换律）： $\begin{aligned} a^{- 1} (a d) = a^{- 1} b \\ (a^{- 1} a) d = a^{- 1} b \\ [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}] d = a^{- 1} b \\ d = a^{- 1} b \end{aligned}$

现在，我们就有了求得代表一个方位到另一个方位角位移的四元数的方法。

数学上，两个四元数之间的角度“差”更类似于“除”，而不是真正的“差”（减法）。

十三、四元数点乘

四元数也有点乘运算。它的记法、定义和向量点乘非常类似： $\begin{aligned} q_{1} \cdot q_{2} & = [\begin{matrix} w_{1} & v_{1} \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} w_{2} & v_{2} \end{matrix}] = w_{1} w_{2} + v_{1} v_{2} \\ = [\begin{matrix} w_{1} & (x_{1} & y_{1} & z_{1}) \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} w_{2} & (x_{2} & y_{2} & z_{2}) \end{matrix}] = w_{1} w_{2} + x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2} \end{aligned}$

注意，和向量点乘一样，其结果是标量。对于单位四元数a和b，有-1≤a•b≤1。通常我们只关心a•b的绝对值，因为a•b=-(a•-b)，所以b和-b代表相同的角位移。

四元数点乘的几何解释类似于向量点乘的几何解释。四元数点乘a•b的绝对值越大，a和b代表的角位移越“相似”。

十四、四元数的对数

首先，让我们重写四元数的定义，引入一个新的变量α，等于半角θ/2： $\begin{aligned} α = θ / 2 \\ | n | = 1 \end{aligned}$ $\begin{aligned} q & = [\begin{matrix} c o s α & n s i n α \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} c o s α & x s i n α & y s i n α & z s i n α \end{matrix}] \end{aligned}$ $\begin{aligned} l o g q & = l o g ([\begin{matrix} c o s α & n s i n α \end{matrix}]) \\ \equiv [\begin{matrix} 0 & α n \end{matrix}] \end{aligned}$ $\equiv$ 表示“恒等于”。注意logq的结果，它一般不是单位四元数。

十五、四元数的指数

根据定义，expp总是返回单位四元数。

四元数的对数和指数类似于它们的标量形式。回忆一下，对于标量a，有下列关系成立： $\begin{aligned} e^{l n a} = a \end{aligned}$ 同样，四元数指数运算为四元数对数运算的逆运算： $\begin{aligned} e x p (l o g q) = q \end{aligned}$

十六、四元数和标量相乘

四元数能与一个标量相乘，其计算方法非常直接，每个分量都乘以这个标量。给定标量k和四元数q，有如下公式： $\begin{aligned} k q & = k [w v] = [k w k v] \\ = k [w (x y z)] = [k w (k x k y k z)] \end{aligned}$ 一般不会得到单位四元数，这也是为什么在表达角位移的场合中标量乘不是那么有用的原因。

十七、四元数求幂

四元数能作为底数，记作q^t（不要和指数运算混淆，指数运算只接受一个四元数作为参数，而四元数求幂有两个参数——四元数和指数）。四元数求幂的意义类似于实数求幂。回忆下，a⁰=1，a¹=a，a为非零标量。当t从0变到1时，a^t从1到a。四元数求幂有类似的结论：当t从0变到1，q^t从[1, 0]到q。

这对四元数求幂非常有用，因为它可以从角位移中抽取“一部分”。例如，四元数q代表一个角位移，现在想要得到1/3这个角位移的四元数，可以这样计算：q^1/3。

指数超出[0, 1]范围外的几何行为和预期的一样（但有一个重要的注意事项）。例如，q²代表的角位移是q的两倍。假设q代表绕x轴顺时针旋转30°，那么q²代表绕x顺时针旋转60°，q^-1/3代表绕x轴逆时针旋转10°

上面提到的注意事项是，四元数表达角位移时使用最短圆弧，不能“绕圈”。继续上面的例子，q⁴不是预期的绕x轴顺时针旋转240°(这里应该是把q当成60°了)，而是逆时针80°。显然，向一个方向旋转240°等价于向相反的方向旋转80°，都能得到正确的“最终结果”。但是，在此基础上的进一步运算，产生的就可能不是预期的结果了。例如，(q⁴)^1/2不是q²，尽管我们感觉应该是这样。一般来说，凡是涉及到指数运算的代数公式，如(a^s)^t=a^st，对四元数都不适用。

现在，我们已经理解四元数求幂可以为我们做什么了。让我们看看它的数学定义。 $\begin{aligned} q^{t} = e x p (t l o g q) \end{aligned}$

注意，对于标量求幂，也有类似结论： $\begin{aligned} a^{t} = e^{(t l n a)} \end{aligned}$

不难理解为什么当t从0变到1时q^t从单位四元数变到q。注意到对数运算只是提取了轴n和角度θ；接着，和指数t进行标量乘时，结果是θ乘以t；最后，指数运算“撤消”了对数运算，从tθ和n重新计算w和v。上面给出的定义就是标准的数学定义，在理论上非常完美，但直接转换到代码却是很复杂的。下面的程序清单所示代码展示了怎样计算q^t的值。

// 四元数(输入、输出)
float w,x,y,z;
// 指数
float exponent;
// 检查单位四元数的情况，避免除零
if (fabs(w) < 0.9999f) {
	// 提取半角alpha (alpha=theta/2)
	float alpha = acos(w);
	// 计算新的alpha值
	float newAlpha = alpha * exponent;
	// 计算新w值
	w = cos(newAlpha);
	// 计算新的xyz值
	float mult = sin(newAlpha) / sin(alpha);
	x *= mult;
	y *= mult;
	z *= mult;
}

关于这些代码，需要注意的地方有：

首先，有必要做单位四元数的检查。因为w=±1会导致mult的计算中出现除零现象。单位四元数的任意次方还是单位四元数。因此，如果检测到输入是单位四元数，直接忽略指数直接返回原四元数即可。
第二，计算alpha时，使用了acos函数，它的返回值是正的角度。这并不违背一般性，任何四元数都能解释成有正方向的旋转角度。因为绕某轴的负旋转等价于绕指向相反方向的轴的正旋转。

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