高等数学——微分

作者：追风剑情发布于：2021-6-22 17:39

1、等价无穷小量代换公式

当无法直接求出极限时，可采用等价无穷小量代换。

等价无穷小代换条件：

（1）被代换的量，在取极限的时候极限值为0。

（2）被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

参见: 百度百科

2、三角函数求导公式

如果对分子分母求导后还是0/0型或∞/∞型，可以继续对分子分母求导。

3、导数的四则运算法则

4、判断函数凹凸性

函数的二阶导数大于0，开口向上，函数为凹函数。
函数的二阶导数小于0，开口向下，函数为凸函数。
函数的二阶导数等于0，函数不凹不凸。

5、求函数拐点

步骤:
(1) 求出二阶导数等于0的点。
(2) 求出二阶导数不存在的点。
(3) 从(1)和(2)的结果集中找出左右极限符号相反的点。

5、夹逼定理

当无法直接求极限时，可考虑从两端逼近。
(1)、找出F(x)和G(x)，且满足F(x)<=f(x)<=G(x)
(2)、求出x->x0时，F(x)和G(x)的极限值A
(3)、根据(1)和(2)可知，当x->x0时，f(x)的极限值为A

复合函数

已知函数 y=f(u)，当u表示为 u=g(x) 时，y作为x的函数可以表示为形如 y=f(g(x)) 的嵌套结构(u和x表示多变量)。这时，嵌套结构的函数 f(g(x)) 称为 f(u) 和 g(x) 的复合函数。

单变量函数的链式法则

已知单变量函数 y=f(u)，当u表示为单变量函数 u=g(x) 时，复合函数 f(g(x)) 的导函数可以如下简单地求出来。 $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \frac{d u}{d x}$ 这个公式称为单变量函数的复合函数求导公式，也称为链式法则。

多变量函数的链式法则

在多变量函数的情况下，链式法则的思想也同样适用。只要像处理分数一样对导数的式子进行变形即可。然而事情并没有这么简单，因为必须对相关的全部变量应用链式法则。

我们来考察两个变量的情形。

变量z为u、v的函数，如果u、v分别为x、y的函数( 即 u=f1(x,y),v=f2(x,y) )，则z为x、y的函数，此时下式(多变量函数的链式法则)成立。 $\frac{δ z}{δ x} = \frac{δ z}{δ u} \frac{δ u}{δ x} + \frac{δ z}{δ v} \frac{δ v}{δ x}$ $\frac{δ z}{δ y} = \frac{δ z}{δ u} \frac{δ u}{δ y} + \frac{δ z}{δ v} \frac{δ v}{δ y}$ 上式在三个以上的变量的情况下也同样成立。

单变量函数的近似公式

$\begin{matrix} (导数的定义) & f^{'} (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x} \end{matrix}$ 在这个定义式中， $Δ x$ 为“无限小的值”，不过若将它替换为“微小的值”，也不会造成很大的误差。因而，下式近似成立。 $f^{'} (x) ≒ \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x}$ 将上式变形，可以得到以下单变量函数的近似公式。 $f (x + Δ x) ≒ f (x) + f^{'} (x) Δ x (Δ x 为微小的数)$

多变量函数的近似公式

$f (x + Δ x, y + Δ y) ≒ f (x, y) + \frac{\partial f (x, y)}{\partial x} Δ x + \frac{\partial f (x, y)}{\partial y} Δ y$ $Δ z = f (x + Δ x, y + Δ y) - f (x, y)$ $Δ z ≒ \frac{\partial z}{\partial x} Δ x + \frac{\partial z}{\partial y} Δ y$ 上式对于两个以上变量依然成立。

近似公式的向量表示

多个变量的函数的近似公式，可以表示为两个向量的内积，例如: $\nabla z = (\frac{\partial z}{\partial w}, \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}), Δ x = (Δ w, Δ x, Δ y)$ 注： $\nabla$ 通常读作nabla