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高等数学——微分

作者：追风剑情 发布于：2021-6-22 17:39

1、等价无穷小量代换公式

当无法直接求出极限时，可采用等价无穷小量代换。

等价无穷小代换条件：

（1）被代换的量，在取极限的时候极限值为0。

（2）被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

参见: 百度百科

2、三角函数求导公式

如果对分子分母求导后还是0/0型或∞/∞型，可以继续对分子分母求导。

3、导数的四则运算法则

4、判断函数凹凸性

函数的二阶导数大于0，开口向上，函数为凹函数。
函数的二阶导数小于0，开口向下，函数为凸函数。
函数的二阶导数等于0，函数不凹不凸。

5、求函数拐点

步骤:
(1) 求出二阶导数等于0的点。
(2) 求出二阶导数不存在的点。
(3) 从(1)和(2)的结果集中找出左右极限符号相反的点。

5、夹逼定理

当无法直接求极限时，可考虑从两端逼近。
(1)、找出F(x)和G(x)，且满足F(x)<=f(x)<=G(x)
(2)、求出x->x0时，F(x)和G(x)的极限值A
(3)、根据(1)和(2)可知，当x->x0时，f(x)的极限值为A

复合函数

  已知函数 y=f(u)，当u表示为 u=g(x) 时，y作为x的函数可以表示为形如 y=f(g(x)) 的嵌套结构(u和x表示多变量)。这时，嵌套结构的函数 f(g(x)) 称为 f(u) 和 g(x) 的复合函数。

单变量函数的链式法则

  已知单变量函数 y=f(u)，当u表示为单变量函数 u=g(x) 时，复合函数 f(g(x)) 的导函数可以如下简单地求出来。 $$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$$ 这个公式称为单变量函数的复合函数求导公式，也称为链式法则。

多变量函数的链式法则

  在多变量函数的情况下，链式法则的思想也同样适用。只要像处理分数一样对导数的式子进行变形即可。然而事情并没有这么简单，因为必须对相关的全部变量应用链式法则。

  我们来考察两个变量的情形。

  变量z为u、v的函数，如果u、v分别为x、y的函数( 即 u=f1(x,y),v=f2(x,y) )，则z为x、y的函数，此时下式(多变量函数的链式法则)成立。 $$\frac{δz}{δx}=\frac{δz}{δu}\frac{δu}{δx}+\frac{δz}{δv}\frac{δv}{δx}$$ $$\frac{δz}{δy}=\frac{δz}{δu}\frac{δu}{δy}+\frac{δz}{δv}\frac{δv}{δy}$$ 上式在三个以上的变量的情况下也同样成立。

单变量函数的近似公式

$$f'(x)=\lim\limits_{\Delta{x}\to{0}}\frac{f(x+\Delta{x})-f(x)}{\Delta{x}}\tag{导数的定义}$$ 在这个定义式中，$\Delta{x}$为“无限小的值”，不过若将它替换为“微小的值”，也不会造成很大的误差。因而，下式近似成立。 $$f'(x)\fallingdotseq\frac{f(x+\Delta{x})-f(x)}{\Delta{x}}$$ 将上式变形，可以得到以下单变量函数的近似公式。 $$f(x+\Delta{x})\fallingdotseq{f(x)+f'(x)\Delta{x}}\quad(\Delta{x}为微小的数)$$

多变量函数的近似公式

$$f(x+\Delta{x}, y+\Delta{y})\fallingdotseq{f(x,y)+\frac{\partial{f(x,y)}}{\partial{x}}\Delta{x}+\frac{\partial{f(x,y)}}{\partial{y}}}\Delta{y}$$ $$\Delta{z}=f(x+\Delta{x},y+\Delta{y})-f(x,y)$$ $$\Delta{z}\fallingdotseq{\frac{\partial{z}}{\partial{x}}\Delta{x}+\frac{\partial{z}}{\partial{y}}\Delta{y}}$$ 上式对于两个以上变量依然成立。

近似公式的向量表示

多个变量的函数的近似公式，可以表示为两个向量的内积，例如: $$\nabla{z}=\left(\frac{\partial{z}}{\partial{w}},\frac{\partial{z}}{\partial{x}},\frac{\partial{z}}{\partial{y}}\right),\quad\Delta{x}=(\Delta{w},\Delta{x},\Delta{y})$$ 注：$\nabla$通常读作nabla

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